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中高考家教
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2014年江蘇蘇州中考數學試題及答案解析word版


作者:蘇州進步網 來源:蘇州進步網(www.tt7979.com) 發布時間:2015-03-17 閱讀次數:





2014年江蘇蘇州中考數學試題答案解析word版
一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)
1.(3分)(2014•蘇州)(﹣3)×3的結果是( 。
  A. ﹣9 B. 0 C. 9 D. ﹣6

考點有理數的乘法.來源進步網www.tt7979.com

分析: 根據兩數相乘,異號得負,可得答案.
解答: 解:原式=﹣3×3=﹣9,
故選:A.
點評: 本題考查了有理數的乘法,先確定積的符號,再進行絕對值得運算.
 
2.(3分)(2014•蘇州)已知∠α和∠β是對頂角,若∠α=30°,則∠β的度數為( 。
  A. 30° B. 60° C. 70° D. 150°

考點: 對頂角、鄰補角
分析: 根據對頂角相等可得∠β與∠α的度數相等為30°.
解答: 解:∵∠α和∠β是對頂角,∠α=30°,
∴根據對頂角相等可得∠β=∠α=30°.來源進步網www.tt7979.com
故選:A.
點評: 本題主要考查了對頂角相等的性質,比較簡單.
 
3.(3分)(2014•蘇州)有一組數據:1,3,3,4,5,這組數據的眾數為( 。
  A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

考點: 眾數
分析: 根據眾數的概念求解.
解答: 解:這組數據中3出現的次數最多,
故眾數為3.來源進步網www.tt7979.com
故選B
點評: 本題考查了眾數的概念:一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數.
 
4.(3分)(2014•蘇州)若式子 在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是( 。
  A. x≤﹣4 B. x≥﹣4 C. x≤4 D. x≥4

考點: 二次根式有意義的條件
分析: 二次根式有意義,被開方數是非負數.
解答: 解:依題意知,x﹣4≥0,
解得x≥4.
故選:D.來源進步網www.tt7979.com

點評: 考查了二次根式的意義和性質.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性質:二次根式中的被開方數必須是非負數,否則二次根式無意義.來源進步網www.tt7979.com

 
5.(3分)(2014•蘇州)如圖,一個圓形轉盤被分成6個圓心角都為60°的扇形,任意轉動這個轉盤1次,當轉盤停止轉動時,指針指向陰影區域的概率是( 。

  A.   B.   C.   D. 

考點: 幾何概率.
分析: 設圓的面積為6,易得到陰影區域的面積為4,然后根據概率的概念計算即可.
解答: 解:設圓的面積為6,
∵圓被分成6個相同扇形,
∴每個扇形的面積為1,
∴陰影區域的面積為4,來源進步網www.tt7979.com
∴指針指向陰影區域的概率= = .
故選D.
點評: 本題考查了求幾何概率的方法:先利用幾何性質求出整個幾何圖形的面積n,再計算出其中某個區域的幾何圖形的面積m,然后根據概率的定義計算出落在這個幾何區域的事件的概率= .

6.(3分)(2014•蘇州)如圖,在△ABC中,點D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,則∠C的度數為( 。﹣碓催M步網www.tt7979.com

  A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°

考點: 等腰三角形的性質來源進步網www.tt7979.com

分析: 先根據等腰三角形的性質求出∠ADB的度數,再由平角的定義得出∠ADC的度數,根據等腰三角形的性質即可得出結論.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:∵△ABD中,AB=AD,∠B=80°,
∴∠B=∠ADB=80°,
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°,
∵AD=CD,
∴∠C= = =40°.
故選B.
點評: 本題考查的是等腰三角形的性質,熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關鍵.
 
7.(3分)(2014•蘇州)下列關于x的方程有實數根的是( 。﹣碓催M步網www.tt7979.com
  A. x2﹣x+1=0 B. x2+x+1=0 C. (x﹣1)(x+2)=0 D. (x﹣1)2+1=0

考點: 根的判別式.
專題: 計算題.
分析: 分別計算A、B中的判別式的值;根據判別式的意義進行判斷;利用因式分解法對C進行判斷;根據非負數的性質對D進行判斷.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:A、△=(﹣1)2﹣4×1×1=﹣3<0,方程沒有實數根,所以A選項錯誤;
B、△=12﹣4×1×1=﹣3<0,方程沒有實數根,所以B選項錯誤;
C、x﹣1=0或x+2=0,則x1=1,x2=﹣2,所以C選項正確;來源進步網www.tt7979.com
D、(x﹣1)2=﹣1,方程左邊為非負數,方程右邊為0,所以方程沒有實數根,所以D選項錯誤.
故選C.來源進步網www.tt7979.com

點評: 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac:當△>0,方程有兩個不相等的實數根;當△=0,方程有兩個相等的實數根;當△<0,方程沒有實數根.
 
8.(3分)(2014•蘇州)二次函數y=ax2+bx﹣1(a≠0)的圖象經過點(1,1),則代數式1﹣a﹣b的值為( 。﹣碓催M步網www.tt7979.com
  A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 5

考點: 二次函數圖象上點的坐標特征.
分析: 把點(1,1)代入函數解析式求出a+b,然后代入代數式進行計算即可得解.
解答: 解:∵二次函數y=ax2+bx﹣1(a≠0)的圖象經過點(1,1),
∴a+b﹣1=1,
∴a+b=2,來源進步網www.tt7979.com
∴1﹣a﹣b=1﹣(a+b)=1﹣2=﹣1.
故選B.
點評: 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征,整體思想的利用是解題的關鍵.
 
9.(3分)(2014•蘇州)如圖,港口A在觀測站O的正東方向,OA=4km,某船從港口A出發,沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處,此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向,則該船航行的距離(即AB的長)為( 。﹣碓催M步網www.tt7979.com

  A. 4km B. 2 km C. 2 km D. ( +1)km

考點: 解直角三角形的應用-方向角問題.來源進步網www.tt7979.com

分析: 過點A作AD⊥OB于D.先解Rt△AOD,得出AD= OA=2,再由△ABD是等腰直角三角形,得出BD=AD=2,則AB= AD=2 .
解答: 解:如圖,過點A作AD⊥OB于D.
在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4,
∴AD= OA=2.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°,
∴BD=AD=2,
∴AB= AD=2 .
即該船航行的距離(即AB的長)為2 km.
故選C.


點評: 本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題,難度適中,作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.來源進步網www.tt7979.com

10.(3分)(2014•蘇州)如圖,△AOB為等腰三角形,頂點A的坐標(2, ),底邊OB在x軸上.將△AOB繞點B按順時針方向旋轉一定角度后得△A′O′B′,點A的對應點A′在x軸上,則點O′的坐標為( 。﹣碓催M步網www.tt7979.com

  A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( ,4 )

考點: 坐標與圖形變化-旋轉.
分析: 過點A作AC⊥OB于C,過點O′作O′D⊥A′B于D,根據點A的坐標求出OC、AC,再利用勾股定理列式計算求出OA,根據等腰三角形三線合一的性質求出OB,根據旋轉的性質可得BO′=OB,∠A′BO′=∠ABO,然后解直角三角形求出O′D、BD,再求出OD,然后寫出點O′的坐標即可.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:如圖,過點A作AC⊥OB于C,過點O′作O′D⊥A′B于D,
∵A(2, ),
∴OC=2,AC= ,
由勾股定理得,OA= = =3,
∵△AOB為等腰三角形,OB是底邊,
∴OB=2OC=2×2=4,
由旋轉的性質得,BO′=OB=4,∠A′BO′=∠ABO,
∴O′D=4× = ,
BD=4× = ,
∴OD=OB+BD=4+ = ,
∴點O′的坐標為( , ).
故選C.


點評: 本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉,主要利用了勾股定理,等腰三角形的性質,解直角三角形,熟記性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵.

二、填空題(共8小題,每小題3分,共24分)
11.(3分)(2014•蘇州) 的倒數是  。

考點: 倒數.
分析: 根據乘積為1的兩個數倒數,可得一個數的倒數.
解答: 解: 的倒數是 ,來源進步網www.tt7979.com
故答案為: .
點評: 本題考查了倒數,分子分母交換位置是求一個數的倒數的關鍵.
 
12.(3分)(2014•蘇州)已知地球的表面積約為510000000km2,數510000000用科學記數法可表示為 5.1×108。畞碓催M步網www.tt7979.com

考點: 科學記數法—表示較大的數.
分析: 科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值是易錯點,由于510000000有9位,所以可以確定n=9﹣1=8.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:510 000 000=5.1×108.
故答案為:5.1×108.
點評: 此題考查科學記數法表示較大的數的方法,準確確定a與n值是關鍵.
 
13.(3分)(2014•蘇州)已知正方形ABCD的對角線AC= ,則正方形ABCD的周長為 4。

考點: 正方形的性質.
分析: 根據正方形的對角線等于邊長的 倍求出邊長,再根據正方形的周長公式列式計算即可得解.
解答: 解:∵正方形ABCD的對角線AC= ,
∴邊長AB= ÷ =1,
∴正方形ABCD的周長=4×1=4.
故答案為:4.來源進步網www.tt7979.com

點評: 本題考查了正方形的性質,比較簡單,熟記正方形的對角線等于邊長的 倍是解題的關鍵.
 
14.(3分)(2014•蘇州)某學校計劃開設A、B、C、D四門校本課程供全體學生選修,規定每人必須并且只能選修其中一門,為了了解個門課程的選修人數.現從全體學生中隨機抽取了部分學生進行調查,并把調查結果繪制成如圖所示的條形統計圖.已知該校全體學生人數為1200名,由此可以估計選修C課程的學生有 240 人.來源進步網www.tt7979.com


考點: 用樣本估計總體;條形統計圖.
分析: 根據樣本的數據,可得樣本C占樣本的比例,根據樣本的比例,可C占總體的比例,根據總人數乘以C占得比例,可得答案.
解答: 解:C占樣本的比例 ,
C占總體的比例是 ,
選修C課程的學生有1200× =240(人),
故答案為:240.
點評: 本題考查了用樣本估計總體,先求出樣本所占的比例,估計總體中所占的比例.來源進步網www.tt7979.com

 
15.(3分)(2014•蘇州)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC= ∠BAC,則tan∠BPC=  。


考點: 銳角三角函數的定義;等腰三角形的性質;勾股定理.
分析: 先過點A作AE⊥BC于點E,求得∠BAE= ∠BAC,故∠BPC=∠BAE.再在Rt△BAE中,由勾股定理得AE的長,利用銳角三角函數的定義,求得tan∠BPC=tan∠BAE= .
解答: 解:過點A作AE⊥BC于點E,

∵AB=AC=5,
∴BE= BC= ×8=4,∠BAE= ∠BAC,
∵∠BPC= ∠BAC,
∴∠BPC=∠BAE.
在Rt△BAE中,由勾股定理得
AE= ,
∴tan∠BPC=tan∠BAE= .
故答案為: .
點評: 求銳角的三角函數值的方法:利用銳角三角函數的定義,通過設參數的方法求三角函數值,或者利用同角(或余角)的三角函數關系式求三角函數值.來源進步網www.tt7979.com

 
16.(3分)(2014•蘇州)某地準備對一段長120m的河道進行清淤疏通.若甲工程隊先用4天單獨完成其中一部分河道的疏通任務,則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要9天;若甲工程隊先單獨工作8天,則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要3天.設甲工程隊平均每天疏通河道xm,乙工程隊平均每天疏通河道ym,則(x+y)的值為 20。

考點: 二元一次方程組的應用.來源進步網www.tt7979.com

分析: 設甲工程隊平均每天疏通河道xm,乙工程隊平均每天疏通河道ym,就有4x+9y=120,8x+3y=120,由此構成方程組求出其解即可.
解答: 解:設甲工程隊平均每天疏通河道xm,乙工程隊平均每天疏通河道ym,由題意,得
,
解得: .
∴x+y=20.
故答案為:20.
點評: 本題考查了列二元一次房產界實際問題的運用,二元一次方程組的解法的運用,工程問題的數量關系的運用,解答時由工程問題的數量關系建立方程組求出其解是關鍵.
 
17.(3分)(2014•蘇州)如圖,在矩形ABCD中, = ,以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交邊AD于點E.若AE•ED= ,則矩形ABCD的面積為 5。


考點: 矩形的性質;勾股定理.
分析: 連接BE,設AB=3x,BC=5x,根據勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的值,求出AB、BC,即可求出答案.
解答: 解:如圖,連接BE,則BE=BC.

設AB=3x,BC=5x,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°,
由勾股定理得:AE=4x,
則DE=5x﹣4x=x,
∵AE•ED= ,
∴4x•x= ,
解得:x= (負數舍去),
則AB=3x= ,BC=5x= ,
∴矩形ABCD的面積是AB×BC= × =5,
故答案為:5.
點評: 本題考查了矩形的性質,勾股定理的應用,解此題的關鍵是求出x的值,題目比較好,難度適中.
 
18.(3分)(2014•蘇州)如圖,直線l與半徑為4的⊙O相切于點A,P是⊙O上的一個動點(不與點A重合),過點P作PB⊥l,垂足為B,連接PA.設PA=x,PB=y,則(x﹣y)的最大值是 2。


考點: 切線的性質.
分析: 作直徑AC,連接CP,得出△APC∽△PBA,利用 = ,得出y= x2,所以x﹣y=x﹣ x2=﹣ x2+x=﹣ (x﹣4)2+2,當x=4時,x﹣y有最大值是2.
解答: 解:如圖,作直徑AC,連接CP,

∴∠CPA=90°,
∵AB是切線,
∴CA⊥AB,
∵PB⊥l,來源進步網www.tt7979.com
∴AC∥PB,
∴∠CAP=∠APB,
∴△APC∽△PBA,
∴ = ,
∵PA=x,PB=y,半徑為4
∴ = ,
∴y= x2,
∴x﹣y=x﹣ x2=﹣ x2+x=﹣ (x﹣4)2+2,
當x=4時,x﹣y有最大值是2,
故答案為:2.
點評: 此題考查了切線的性質,平行線的性質,相似三角形的判定與性質,以及二次函數的性質,熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵.
 
三、解答題(共11小題,共76分)
19.(5分)(2014•蘇州)計算:22+|﹣1|﹣ .

考點: 實數的運算.
專題: 計算題.
分析: 原式第一項利用乘方的意義化簡,第二項利用絕對值的代數意義化簡,最后一項利用平方根定義化簡,計算即可得到結果.
解答: 解:原式=4+1﹣2=3.來源進步網www.tt7979.com

點評: 此題考查了實數的運算,熟練掌握運算法則解本題的關鍵.
 
20.(5分)(2014•蘇州)解不等式組: .

考點: 解一元一次不等式組.
專題: 計算題.
分析: 分別求出不等式組中兩不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
解答: 解: ,
由①得:x>3;由②得:x≤4,
則不等式組的解集為3<x≤4.
點評: 此題考查了解一元一次不等式組,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
 
21.(5分)(2014•蘇州)先化簡,再求值: ,其中 .

考點: 分式的化簡求值.
分析: 分式的化簡,要熟悉混合運算的順序,分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要統一為乘法運算,注意化簡后,將 ,代入化簡后的式子求出即可.
解答: 解:
= ÷( + )
= ÷
= ×
= ,
把 ,代入原式= = = = .
點評: 此題主要考查了分式混合運算,要注意分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要統一為乘法運算是解題關鍵.
 
22.(6分)(2014•蘇州)解分式方程: + =3.

考點: 解分式方程.
專題: 計算題.
分析: 分式方程去分母轉化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經檢驗即可得到分式方程的解.
解答: 解:去分母得:x﹣2=3x﹣3,
解得:x= ,
經檢驗x= 是分式方程的解.
點評: 此題考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“轉化思想”,把分式方程轉化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.
 
23.(6分)(2014•蘇州)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D、F分別在AB、AC上,CF=CB,連接CD,將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE,連接EF.
(1)求證:△BCD≌△FCE;
(2)若EF∥CD,求∠BDC的度數.


考點: 全等三角形的判定與性質;旋轉的性質.
分析: (1)由旋轉的性質可得:CD=CE,再根據同角的余角相等可證明∠BCD=∠FCE,再根據全等三角形的判定方法即可證明△BCD≌△FCE;
(2)由(1)可知:△BCD≌△FCE,所以∠BDC=∠E,易求∠E=90°,進而可求出∠BDC的度數.來源進步網www.tt7979.com

解答: (1)證明:∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE,
∴CD=CE,∠DCE=90°,
∵∠ACB=90°,來源進步網www.tt7979.com
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE,
在△BCD和△FCE中,
,
∴△BCD≌△FCE(SAS).

(2)解:由(1)可知△BCD≌△FCE,
∴∠BDC=∠E,來源進步網www.tt7979.com
∵EF∥CD,
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°,
∴∠BDC=90°.
點評: 本題考查了全等三角形的判定和性質、同角的余角相等、旋轉的性質、平行線的性質,全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時,關鍵是選擇恰當的判定條件.來源進步網www.tt7979.com

 
24.(7分)(2014•蘇州)如圖,已知函數y=﹣ x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,與函數y=x的圖象交于點M,點M的橫坐標為2,在x軸上有一點P(a,0)(其中a>2),過點P作x軸的垂線,分別交函數y=﹣ x+b和y=x的圖象于點C、D.
(1)求點A的坐標;
(2)若OB=CD,求a的值.


考點: 兩條直線相交或平行問題.
專題: 計算題.來源進步網www.tt7979.com

分析: (1)先利用直線y=x上的點的坐標特征得到點M的坐標為(2,2),再把M(2,2)代入y=﹣ x+b可計算出b=3,得到一次函數的解析式為y=﹣ x+3,然后根據x軸上點的坐標特征可確定A點坐標為(6,0);
(2)先確定B點坐標為(0,3),則OB=CD=3,再表示出C點坐標為(a,﹣ a+3),D點坐標為(a,a),所以a﹣(﹣ a+3)=3,然后解方程即可.
解答: 解:(1)∵點M在直線y=x的圖象上,且點M的橫坐標為2,
∴點M的坐標為(2,2),
把M(2,2)代入y=﹣ x+b得﹣1+b=2,解得b=3,
∴一次函數的解析式為y=﹣ x+3,
把y=0代入y=﹣ x+3得﹣ x+3=0,解得x=6,
∴A點坐標為(6,0);

(2)把x=0代入y=﹣ x+3得y=3,
∴B點坐標為(0,3),
∵CD=OB,
∴CD=3,來源進步網www.tt7979.com
∵PC⊥x軸,
∴C點坐標為(a,﹣ a+3),D點坐標為(a,a)
∴a﹣(﹣ a+3)=3,
∴a=4.來源進步網www.tt7979.com

點評: 本題考查了兩條直線相交或平行問題:兩條直線的交點坐標,就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解;若兩條直線是平行的關系,那么他們的自變量系數相同,即k值相同.
 
25.(7分)(2014•蘇州)如圖,用紅、藍兩種顏色隨機地對A、B、C三個區域分別進行涂色,每個區域必須涂色并且只能涂一種顏色,請用列舉法(畫樹狀圖或列表)求A、C兩個區域所涂顏色不相同的概率.來源進步網www.tt7979.com


考點: 列表法與樹狀圖法.
專題: 計算題.
分析: 畫樹狀圖得出所有等可能的情況數,找出A與C中顏色不同的情況數,即可求出所求的概率.
解答: 解:畫樹狀圖,如圖所示:

所有等可能的情況有8種,其中A、C兩個區域所涂顏色不相同的有4種,
則P= = .
點評: 此題考查了列表法與樹狀圖法,用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.
 
26.(8分)(2014•蘇州)如圖,已知函數y= (x>0)的圖象經過點A、B,點A的坐標為(1,2),過點A作AC∥y軸,AC=1(點C位于點A的下方),過點C作CD∥x軸,與函數的圖象交于點D,過點B作BE⊥CD,垂足E在線段CD上,連接OC、OD.
(1)求△OCD的面積;來源進步網www.tt7979.com
(2)當BE= AC時,求CE的長.


考點: 反比例函數系數k的幾何意義;反比例函數圖象上點的坐標特征.
分析: (1)根據待定系數法,可得函數解析式,根據圖象上的點滿足函數解析式,可得D點坐標,根據三角形的面積公式,可得答案;來源進步網www.tt7979.com
(2)根據BE的長,可得B點的縱坐標,根據點在函數圖象上,可得B點橫坐標,根據兩點間的距離公式,可得答案.
解答: 解;(1)y= (x>0)的圖象經過點A(1,2),
∴k=2.
∵AC∥y軸,AC=1,
∴點C的坐標為(1,1).
∵CD∥x軸,點D在函數圖象上,
∴點D的坐標為(2,1).
∴ .

(2)∵BE= ,
∴ .
∵BE⊥CD,
∴點B的橫坐標是 ,縱坐標是 .
∴CE= .
點評: 本題考查了反比例函數k的幾何意義,利用待定系數法求解析式,圖象上的點滿足函數解析式.
 
27.(8分)(2014•蘇州)如圖,已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點, = ,連接AB、AD、BD,弦AB不經過圓心O,延長AB到E,使BE=AB,連接EC,F是EC的中點,連接BF.
(1)若⊙O的半徑為3,∠DAB=120°,求劣弧 的長;
(2)求證:BF= BD;
(3)設G是BD的中點,探索:在⊙O上是否存在點P(不同于點B),使得PG=PF?并說明PB與AE的位置關系.


考點: 圓的綜合題.
分析: (1)利用圓心角定理進而得出∠BOD=120°,再利用弧長公式求出劣弧 的長;
(2)利用三角形中位線定理得出BF= AC,再利用圓心角定理得出 = ,進而得出BF= BD;
(3)首先過點B作AE的垂線,與⊙O的交點即為所求的點P,得出BP⊥AE,進而證明△PBG≌△PBF(SAS),求出PG=PF.
解答: (1)解:連接OB,OD,來源進步網www.tt7979.com
∵∠DAB=120°,∴ 所對圓心角的度數為240°,
∴∠BOD=120°,
∵⊙O的半徑為3,
∴劣弧 的長為: ×π×3=2π;

(2)證明:連接AC,
∵AB=BE,∴點B為AE的中點,來源進步網www.tt7979.com
∵F是EC的中點,∴BF為△EAC的中位線,
∴BF= AC,
∵ = ,
∴ + = + ,
∴ = ,
∴BD=AC,
∴BF= BD;

(3)解:過點B作AE的垂線,與⊙O的交點即為所求的點P,
∵BF為△EAC的中位線,
∴BF∥AC,
∴∠FBE=∠CAE,來源進步網www.tt7979.com
∵ = ,
∴∠CAB=∠DBA,
∵由作法可知BP⊥AE,
∴∠GBP=∠FBP,
∵G為BD的中點,
∴BG= BD,
∴BG=BF,
在△PBG和△PBF中,
,
∴△PBG≌△PBF(SAS),
∴PG=PF.


點評: 此題主要考查了圓的綜合應用以及全等三角形的判定與性質和弧長公式以及圓心角定理等知識,正確作出輔助線是解題關鍵.來源進步網www.tt7979.com

 
28.(9分)(2014•蘇州)如圖,已知l1⊥l2,⊙O與l1,l2都相切,⊙O的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1,l2重合,AB=4 cm,AD=4cm,若⊙O與矩形ABCD沿l1同時向右移動,⊙O的移動速度為3cm,矩形ABCD的移動速度為4cm/s,設移動時間為t(s)
(1)如圖①,連接OA、AC,則∠OAC的度數為 105 °;來源進步網www.tt7979.com
(2)如圖②,兩個圖形移動一段時間后,⊙O到達⊙O1的位置,矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置,此時點O1,A1,C1恰好在同一直線上,求圓心O移動的距離(即OO1的長);
(3)在移動過程中,圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化,設該距離為d(cm),當d<2時,求t的取值范圍(解答時可以利用備用圖畫出相關示意圖).


考點: 圓的綜合題.
分析: (1)利用切線的性質以及銳角三角函數關系分別求出∠OAD=45°,∠DAC=60°,進而得出答案;來源進步網www.tt7979.com
(2)首先得出,∠C1A1D1=60°,再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2,求出t的值,進而得出OO1=3t得出答案即可;
(3)①當直線AC與⊙O第一次相切時,設移動時間為t1,②當直線AC與⊙O第二次相切時,設移動時間為t2,分別求出即可.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:(1)∵l1⊥l2,⊙O與l1,l2都相切,
∴∠OAD=45°,
∵AB=4 cm,AD=4cm,
∴CD=4 cm,AD=4cm,
∴tan∠DAC= = = ,
∴∠DAC=60°,
∴∠OAC的度數為:∠OAD+∠DAC=105°,
故答案為:105;

(2)如圖位置二,當O1,A1,C1恰好在同一直線上時,設⊙O1與l1的切點為E,
連接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,來源進步網www.tt7979.com
在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4 ,
∴tan∠C1A1D1= ,∴∠C1A1D1=60°,
在Rt△A1O1E中,∠O1A1E=∠C1A1D1=60°,
∴A1E= = ,
∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2,
∴t﹣2= ,
∴t= +2,
∴OO1=3t=2 +6;

(3)①當直線AC與⊙O第一次相切時,設移動時間為t1,
如圖,此時⊙O移動到⊙O2的位置,矩形ABCD移動到A2B2C2D2的位置,
設⊙O2與直線l1,A2C2分別相切于點F,G,連接O2F,O2G,O2A2,
∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2,
由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°,
∴∠O2A2F=60°,
在Rt△A2O2F中,O2F=2,∴A2F= ,
∵OO2=3t,AF=AA2+A2F=4t1+ ,
∴4t1+ ﹣3t1=2,
∴t1=2﹣ ,
②當直線AC與⊙O第二次相切時,設移動時間為t2,
記第一次相切時為位置一,點O1,A1,C1共線時位置二,第二次相切時為位置三,
由題意知,從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等,
∴ +2﹣(2﹣ )=t2﹣( +2),
解得:t2=2+2 ,
綜上所述,當d<2時,t的取值范圍是:2﹣ <t<2+2 .
點評: 此題主要考查了切線的性質以及銳角三角函數關系等知識,利用分類討論以及數形結合t的值是解題關鍵.
 
29.(10分)(2014•蘇州)如圖,二次函數y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(其中a,m是常數,且a>0,m>0)的圖象與x軸分別交于點A、B(點A位于點B的左側),與y軸交于C(0,﹣3),點D在二次函數的圖象上,CD∥AB,連接AD,過點A作射線AE交二次函數的圖象于點E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的代數式表示a;
(2)求證: 為定值;
(3)設該二次函數圖象的頂點為F,探索:在x軸的負半軸上是否存在點G,連接GF,以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一個滿足要求的點G即可,并用含m的代數式表示該點的橫坐標;如果不存在,請說明理由.


考點: 二次函數綜合題.
分析: (1)由C在二次函數y=a(x2﹣2mx﹣3m2)上,則其橫縱坐標必滿足方程,代入即可得到a與c的關系式.
(2)求證 為定值,一般就是計算出AD、AE的值,然后相比.而求其長,過E、D作x軸的垂線段,進而通過設邊長,利用直角三角形性質得方程求解,是求解此類問題的常規思路,如此易得定值.
(3)要使線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形,且(2)中 = ,則可考慮若GF使得AD:GF:AE=3:4:5即可.由AD、AE、F點都易固定,且G在x軸的負半軸上,則易得G點大致位置,可連接CF并延長,證明上述比例AD:GF:AE=3:4:5即可.
解答: (1)解:將C(0,﹣3)代入二次函數y=a(x2﹣2mx﹣3m2),
則﹣3=a(0﹣0﹣3m2),
解得 a= .來源進步網www.tt7979.com

(2)證明:如圖1,過點D、E分別作x軸的垂線,垂足為M、N.

由a(x2﹣2mx﹣3m2)=0,
解得 x1=﹣m,x2=3m,
則 A(﹣m,0),B(3m,0).
∵CD∥AB,來源進步網www.tt7979.com
∴點D的坐標為(2m,﹣3).
∵AB平分∠DAE,
∴∠DAM=∠EAN,
∵∠DMA=∠ENA=90°,
∴△ADM∽△AEN.
∴ = = .
設E坐標為(x, ),
∴ = ,
∴x=4m,
∴E(4m,5),
∵AM=AO+OM=m+2m=3m,AN=AO+ON=m+4m=5m,
∴ = = ,即為定值.

(3)解:如圖2,記二次函數圖象頂點為F,則F的坐標為(m,﹣4),過點F作FH⊥x軸于點H.
連接FC并延長,與x軸負半軸交于一點,此點即為所求的點G.

∵tan∠CGO= ,tan∠FGH= ,
∴ = ,
∴OG=3m.
∵GF= = =4 ,
  AD= = =3 ,
∴ = .
∵ = ,來源進步網www.tt7979.com
∴AD:GF:AE=3:4:5,
∴以線段GF,AD,AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形,此時G點的橫坐標為﹣3m.
點評: 本題考查了二次函數性質、勾股定理及利用直角三角形性質求解邊長等知識,總體來說本題雖難度稍難,但問題之間的提示性較明顯,所以是一道質量較高的題目.

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