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中高考家教
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2014年江蘇常州中考數學試題及答案解析word版


作者:蘇州進步網 來源:蘇州進步網(www.tt7979.com) 發布時間:2015-02-02 閱讀次數:





2014年江蘇常州中考數學試題答案解析word版
一、選擇題(本大題共8小題,每小題2分,滿分16分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.(2分)(2014•常州)﹣ 的相反數是( 。﹣碓催M步網www.tt7979.com
  A.   B. ﹣  C. ﹣2 D. 2

考點: 相反數.來源進步網www.tt7979.com

分析: 根據只有符號不同的兩個數互為相反數,可得一個數的相反數.
解答: 解:﹣ 的相反數是 ,
故選:A.
點評: 本題考查了相反數,在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數.
 
2.(2分)(2014•常州)下列運算正確的是( 。
  A. a•a3=a3 B. (ab)3=a3b C. (a3)2=a6 D. a8÷a4=a2

考點: 同底數冪的除法;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
分析: 根據同底數冪的乘法與除法以及冪的乘方與積的乘方的知識求解即可求得答案.
解答: 解:A、a•a3=a4,故A選項錯誤;來源進步網www.tt7979.com
B、(ab)3=a3b3,故B選項錯誤;
C、(a3)2=a6,故C選項正確;
D、a8÷a4=a4,故D選項錯誤.
故選:C.
點評: 此題考查了同底數冪的乘法與除法以及冪的乘方與積的乘方等知識,熟記法則是解題的關鍵.
 
3.(2分)(2014•常州)下列立體圖形中,側面展開圖是扇形的是( 。
  A. 
B. 
C. 
D. 


考點: 幾何體的展開圖.
分析: 圓錐的側面展開圖是扇形.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:根據圓錐的特征可知,側面展開圖是扇形的是圓錐.
故選B.
點評: 解題時勿忘記圓錐的特征及圓錐展開圖的情形.來源進步網www.tt7979.com

 
4.(2分)(2014•常州)甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試,每人10次射擊成績平均數均是9.2環,方差分別為S甲2=0.56,S乙2=0.60,S丙2=0.50,S丁2=0.45,則成績最穩定的是( 。
  A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

考點: 方差.來源進步網www.tt7979.com

分析: 根據方差的意義可作出判斷.方差是用來衡量一組數據波動大小的量,方差越小,表明這組數據分布比較集中,各數據偏離平均數越小,即波動越小,數據越穩定.
解答: 解;∵S甲2=0.56,S乙2=0.60,S丙2=0.50,S丁2=0.45,
∴S丁2=<S丙2<S甲2<S乙2,
∴成績最穩定的是;
故選D.
點評: 本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的量,方差越大,表明這組數據偏離平均數越大,即波動越大,數據越不穩定;反之,方差越小,表明這組數據分布比較集中,各數據偏離平均數越小,即波動越小,數據越穩定.來源進步網www.tt7979.com

 
5.(2分)(2014•常州)已知兩圓半徑分別為3cm,5cm,圓心距為7cm,則這兩圓的位置關系為( 。
  A. 相交 B. 外切 C. 內切 D. 外離

考點: 圓與圓的位置關系.來源進步網www.tt7979.com

分析: 根據數量關系來判斷兩圓的位置關系.設兩圓的半徑分別為R和r,且R≥r,圓心距為d:外離,則d>R+r;外切,則d=R+r;相交,則R﹣r<d<R+r;內切,則d=R﹣r;內含,則d<R﹣r.
解答: 解:∵兩圓的半徑分別是3cm和5cm,圓心距為7cm,
5﹣3=2,3+5=8,
∴2<7<8,
∴兩圓相交.
故選A.來源進步網www.tt7979.com

點評: 此題考查了圓與圓的位置關系.注意掌握兩圓位置關系與圓心距d,兩圓半徑R,r的數量關系間的聯系是解此題的關鍵.
 
6.(2分)(2014•常州)已知反比例函數y= 的圖象經過點P(﹣1,2),則這個函數的圖象位于( 。
  A. 第二,三象限 B. 第一,三象限 C. 第三,四象限 D. 第二,四象限

考點: 反比例函數的性質;待定系數法求反比例函數解析式.
專題: 壓軸題;待定系數法.
分析: 先把點代入函數解析式,求出k值,再根據反比例函數的性質求解即可.
解答: 解:由題意得,k=﹣1×2=﹣2<0,
∴函數的圖象位于第二,四象限.
故選:D.來源進步網www.tt7979.com

點評: 本題考查了反比例函數的圖象的性質:k>0時,圖象在第一、三象限,k<0時,圖象在第二、四象限.
 
7.(2分)(2014•常州)甲、乙兩人以相同路線前往距離單位10km的培訓中心參加學習.圖中l甲、l乙分別表示甲、乙兩人前往目的地所走的路程S(km)隨時間t(分)變化的函數圖象.以下說法:①乙比甲提前12分鐘到達;②甲的平均速度為15千米/小時;③乙走了8km后遇到甲;④乙出發6分鐘后追上甲.其中正確的有( 。

  A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

考點: 函數的圖象.來源進步網www.tt7979.com

分析: 觀察函數圖象可知,函數的橫坐標表示時間,縱坐標表示路程,然后根據圖象上特殊點的意義進行解答.
解答: 解:①乙在28分時到達,甲在40分時到達,所以乙比甲提前了12分鐘到達;故①正確;
②根據甲到達目的地時的路程和時間知:甲的平均速度=10÷ =15千米/時;故②正確;
④設乙出發x分鐘后追上甲,則有: ×x= ×(18+x),解得x=6,故④正確;
③由④知:乙第一次遇到甲時,所走的距離為:6× =6km,故③錯誤;
所以正確的結論有三個:①②④,
故選B.來源進步網www.tt7979.com

點評: 讀函數的圖象時首先要理解橫縱坐標表示的含義,理解問題敘述的過程,能夠通過圖象得到函數是隨自變量的增大,知道函數值是增大還是減。
 
8.(2分)(2014•常州)在平面直角坐標系xOy中,直線l經過點A(﹣3,0),點B(0, ),點P的坐標為(1,0),⊙P與y軸相切于點O.若將⊙P沿x軸向左平移,平移后得到⊙P′(點P的對應點為點P′),當⊙P′與直線l相交時,橫坐標為整數的點P′共有( 。﹣碓催M步網www.tt7979.com
  A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

考點: 直線與圓的位置關系;一次函數的性質.
分析: 在解答本題時要先求出⊙P的半徑,繼而求得相切時P′點的坐標,根據A(﹣3,0),可以確定對應的橫坐標為整數時對應的數值.
解答: 解:如圖所示,∵點P的坐標為(1,0),⊙P與y軸相切于點O,
∴⊙P的半徑是1,來源進步網www.tt7979.com
若⊙P與AB相切時,設切點為D,由點A(﹣3,0),點B(0, ),
∴OA=3,OB= ,由勾股定理得:AB=2 ,∠DAM=30°,
設平移后的圓心為M(即對應的P′),
∴MD⊥AB,MD=1,又因為∠DAM=30°,
所以M點的坐標為(﹣1,0),即對應的P′點的坐標為(﹣1,0),
所以當⊙P′與直線l相交時,橫坐標為整數的點的橫坐標可以是﹣2,﹣3,﹣4共三個.
故選:C.


點評: 本題考查了圓的切線的性質的綜合應用,解答本題的關鍵在于找到圓與直線相切時對應的圓心的坐標,然后結合A點的坐標求出對應的圓心的橫坐標的整數解.
 
二、填空題(本大題共9小題,每小題4分,滿分20分.)
9.(4分)(2014•常州)計算:|﹣1|= 1 ,2﹣2=   ,(﹣3)2= 9 , = ﹣2。
考點: 立方根;絕對值;有理數的乘方;負整數指數冪.
分析: 運用立方根,絕對值,有理數的乘方和負整數指數冪的法則計算.
解答: 解::|﹣1|=1,
2﹣2= ,
(﹣3)2=9,
=﹣2.
故答案為:1, ,9,﹣2.
點評: 本題主要考查了立方根,絕對值,有理數的乘方和負整數指數冪的知識,解題的關鍵是熟記法則.
 
10.(2分)(2014•常州)已知P(1,﹣2),則點P關于x軸的對稱點的坐標是。1,2)。
考點: 關于x軸、y軸對稱的點的坐標.來源進步網www.tt7979.com

分析: 根據關于x軸對稱點的坐標特點:橫坐標不變,縱坐標互為相反數.即點P(x,y)關于x軸的對稱點P′的坐標是(x,﹣y),進而得出答案.
解答: 解:∵P(1,﹣2),
∴點P關于x軸的對稱點的坐標是:(1,2).
故答案為:(1,2).
點評: 此題主要考查了關于x軸對稱點的性質,正確記憶關于坐標軸對稱點的性質是解題關鍵.
 
11.(2分)(2014•常州)若∠α=30°,則∠α的余角等于 60 度,sinα的值為  。
考點: 特殊角的三角函數值;余角和補角.
分析: 根據互為余角的兩個角的和為90度求得∠α的余角的度數;根據特殊角的三角函數值求得sinα的值.
解答: 6解:∵∠A=30°,
∴∠A的余角是:90°﹣30°=60°;
sinα=sin30°= ,
故答案為:60, .
點評: 本題主要考查了特殊角的三角函數值以及余角的定義:如果兩個角的和是一個直角,那么稱這兩個角互為余角,簡稱互余;也可以說其中一個角是另一個角的余角,
 
12.(2分)(2014•常州)已知扇形的半徑為3cm,此扇形的弧長是2πcm,則此扇形的圓心角等于 120 度,扇形的面積是 3πcm2。ńY果保留π)來源進步網www.tt7979.com
考點: 扇形面積的計算;弧長的計算.
分析: 設扇形的圓心角的度數是n°,根據弧長公式即可列方程求得n的值,然后利用扇形的面積公式即可求得扇形的面積.
解答: 解:設扇形的圓心角的度數是n°,則
=2π,來源進步網www.tt7979.com
解得:n=120,
扇形的面積是: =3π(cm2).
故答案是:120,3πcm2.
點評: 本題考查弧長公式和扇形的面積公式,正確記憶公式是關鍵.
 
13.(2分)(2014•常州)已知反比例函數y= ,則自變量x的取值范圍是 x≠0;若式子 的值為0,則x= ﹣3。
考點: 函數自變量的取值范圍;二次根式的定義;反比例函數的定義.
分析: 根據分母不等于0列式計算即可得解;
根據二次根式的定義列出方程求解即可.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:反比例函數y= 的自變量x的取值范圍是x≠0,
=0,來源進步網www.tt7979.com
解得x=﹣3.
故答案為:x≠0,﹣3.
點評: 本題考查了函數自變量的范圍,一般從三個方面考慮:
(1)當函數表達式是整式時,自變量可取全體實數;來源進步網www.tt7979.com
(2)當函數表達式是分式時,考慮分式的分母不能為0;
(3)當函數表達式是二次根式時,被開方數非負.
 
14.(2分)(2014•常州)已知關于x的方程x2﹣3x+m=0的一個根是1,則m= 2 ,另一個根為 2。
考點: 一元二次方程的解;根與系數的關系.來源進步網www.tt7979.com

分析: 根據方程有一根為1,將x=1代入方程求出m的值,確定出方程,即可求出另一根.
解答: 解:將x=1代入方程得:1﹣3+m=0,
解得:m=2,來源進步網www.tt7979.com
方程為x2﹣3x+2=0,即(x﹣1)(x﹣2)=0,
解得:x=1或x=2,
則另一根為2.
故答案為:2,2.
點評: 此題考查了一元二次方程的解,方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值.
 
15.(2分)(2014•常州)因式分解:x3﹣9xy2= x(x+3y)(x﹣3y)。
考點: 提公因式法與公式法的綜合運用.來源進步網www.tt7979.com

分析: 先提取公因式x,再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解.
解答: 解:x3﹣9xy2,
=x(x2﹣9y2),
=x(x+3y)(x﹣3y).
點評: 本題考查了提公因式法與公式法進行因式分解,一個多項式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法進行因式分解,同時因式分解要徹底,直到不能分解為止.
 
16.(2分)(2014•常州)在平面直角坐標系xOy中,一次函數y=10﹣x的圖象與函數y= (x>0)的圖象相交于點A,B.設點A的坐標為(x1,y1),那么長為x1,寬為y1的矩形的面積為 6 ,周長為 20。

考點: 反比例函數與一次函數的交點問題.
分析: 解由兩函數組成的方程組,求出A的坐標,再根據矩形的性質求出面積和周長即可.
解答: 解:解方程組 得: , ,
根據圖象知:x1=5﹣ ,y1=5﹣ ,
即長為x1,寬為y1的矩形的面積是(5﹣ )×(5+ )=6,周長是2(5﹣ +5+ )=20,
故答案為:6,20.
點評: 此題主要考查了一次函數與反比例函數的交點,必須先求出交點坐標,難易程度適中.
 來源進步網www.tt7979.com
17.(2分)(2014•常州)在平面直角坐標系xOy中,已知一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象過點P(1,1),與x軸交于點A,與y軸交于點B,且tan∠ABO=3,那么點A的坐標是。ī2,0)或(4,0)。
考點: 待定系數法求一次函數解析式;銳角三角函數的定義.
專題: 壓軸題.
分析: 已知tan∠ABO=3就是已知一次函數的一次項系數是 或﹣ .根據函數經過點P,利用待定系數法即可求得函數解析式,進而可得到A的坐標.
解答: 解:在Rt△AOB中,由tan∠ABO=3,可得OA=3OB,則一次函數y=kx+b中k=± .
∵一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象過點P(1,1),
∴當k= 時,求可得b= ;
k=﹣ 時,求可得b= .來源進步網www.tt7979.com
即一次函數的解析式為y= x+ 或y=﹣ x+ .
令y=0,則x=﹣2或4,
∴點A的坐標是(﹣2,0)或(4,0).
故答案為:(﹣2,0)或(4,0).


點評: 本題考查求一次函數的解析式及交點坐標.
 
三、解答題(本大題共2小題,滿分18分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
18.(8分)(2014•常州)計算與化簡:
(1) ﹣(﹣ )0+2tan45°;
(2)x(x﹣1)+(1﹣x)(1+x).來源進步網www.tt7979.com
考點: 整式的混合運算;實數的運算;零指數冪;特殊角的三角函數值.
分析: (1)先求出每一部分的值,再代入合并即可;
(2)先算乘法,再合并同類項即可.
解答: 解:(1)原式=2﹣1+2×1
=2﹣1+2
=﹣1;
(2)原式=x2﹣x+1﹣x2
=1﹣x.
點評: 本題考查了二次根式的性質,零指數冪,特殊角的三角函數值,整式的混合運算的應用,主要考查學生的計算能力,題目比較好,難度適中.
 
19.(10分)(2014•常州)解不等式組和分式方程:
(1) ;來源進步網www.tt7979.com
(2) .
考點: 解一元一次不等式組;解分式方程.
專題: 計算題.
分析: (1)分別求出不等式組中兩不等式的解集,找出解集的公共部分即可;
(2)分式方程去分母轉化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經檢驗即可得到分式方程的解.
解答: 解:(1) ,
由①得:x>1,
由②得:x>﹣2,
則不等式組的解集為:x>1;
(2)去分母得:3x+2=x﹣1,
移項得:3x﹣x=﹣1﹣2,即2x=﹣3,
解得:x=﹣ ,
經檢驗x=﹣ 是分式方程的解.
點評: 此題考查了解一元一次不等式組,以及解分式方程,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
 
四.解答題:
20.(7分)(2014•常州)為迎接“六一”兒童節的到來,某校學生參加獻愛心捐款活動,隨機抽取該校部分學生的捐款數進行統計分析,相應數據的統計圖如下:來源進步網www.tt7979.com
(1)該校本的容量是 50 ,樣本中捐款15元的學生有 10 人;
(2)若該校一共有500名學生,據此樣本估計該校學生的捐款總數.

考點: 條形統計圖;用樣本估計總體;扇形統計圖.
分析: (1)用捐5元的人數除以所占的百分比即是樣本容量,用總人數減去捐5元與10元的人數即是捐款15元的學生人數;
(2)求出平均每人的捐款數再乘以該校人數即可得學生的捐款總數.
解答: 解:(1)15÷30%=50(人),50﹣15﹣25=10(人),
故答案為:50,10;來源進步網www.tt7979.com

(2)平均每人的捐款數為: ×(5×15+10×25+15×10)=9.5(元),
9.5×500=4750(元),
答:該校學生的捐款總數為4750元.
點評: 本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用,讀懂統計圖,從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據;扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大。
 
21.(8分)(2014•常州)一只不透明的箱子里共有3個球,把它們的分別編號為1,2,3,這些球除編號不同外其余都相同.
(1)從箱子中隨機摸出一個球,求摸出的球是編號為1的球的概率;
(2)從箱子中隨機摸出一個球,記錄下編號后將它放回箱子,攪勻后再摸出一個球并記錄下編號,求兩次摸出的球都是編號為3的球的概率.
考點: 列表法與樹狀圖法;概率公式.
分析: (1)直接利用概率公式求解即可;
(2)首先列出樹狀圖,然后利用概率公式求解即可.
解答: 解:(1)從箱子中隨機摸出一個球,摸出的球是編號為1的球的概率為: ;
(2)畫樹狀圖如下:來源進步網www.tt7979.com

共有9種等可能的結果,兩次摸出的球都是編號為3的球的概率為 .
點評: 本題考查了列表法與樹狀圖法級概率公式,難點在于正確的列出樹形圖,難點中等.
 
五.解答題(本大題共2小題,共12分,請在答題卡指定區域內作答,解答應寫出證明過程)
22.(5分)(2014•常州)已知:如圖,點C為AB中點,CD=BE,CD∥BE.
求證:△ACD≌△CBE.

考點: 全等三角形的判定.
專題: 證明題.
分析: 根據中點定義求出AC=CB,根據兩直線平行,同位角相等,求出∠ACD=∠B,然后利用SAS即可證明△ACD≌△CBE.
解答: 證明:∵C是AB的中點(已知),
∴AC=CB(線段中點的定義).
∵CD∥BE(已知),
∴∠ACD=∠B(兩直線平行,同位角相等).
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(SAS).
點評: 本題主要考查了全等三角形的判定方法,判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定兩個三角形全等,判定兩個三角形全等時,必須有邊的參與,若有兩邊一角對應相等時,角必須是兩邊的夾角.
 
23.(7分)(2014•常州)已知:如圖,E,F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點,AF=CE,連接DE,DF,BE,BF.四邊形DEBF為平行四邊形.
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

考點: 平行四邊形的判定與性質.
專題: 證明題.
分析: 由“平行四邊形的對角線相互平分”推知OD=OB,OE=OF;然后結合已知條件推知四邊形ABCD的對角線互相平分,則易證得結論.
解答: 證明:如圖,連結BD交AC于點O.
∵四邊形DEBF為平行四邊形,
∴OD=OB,OE=OF,
∵AF=CE,
∴AF﹣EF=CE﹣EF,即AE=CF,
∴AE+OE=CF+OF,即OA=OC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.


點評: 本題考查了平行四邊形的判定與性質.平行四邊形的判定方法共有五種,應用時要認真領會它們之間的聯系與區別,同時要根據條件合理、靈活地選擇方法.
 
六.畫圖與應用(本大題共5小題,請在答題卡指定區域內作答,共14分)
24.(7分)(2014•常州)在平面直角坐標系xOy中,如圖,已知Rt△DOE,∠DOE=90°,OD=3,點D在y軸上,點E在x軸上,在△ABC中,點A,C在x軸上,AC=5.∠ACB+∠ODE=180°,∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求畫圖(保留作圖痕跡):

(1)將△ODE繞O點按逆時針方向旋轉90°得到△OMN(其中點D的對應點為點M,點E的對應點為點N),畫出△OMN;
(2)將△ABC沿x軸向右平移得到△A′B′C′(其中點A,B,C的對應點分別為點A′,B′,C′),使得B′C′與(1)中的△OMN的邊NM重合;
(3)求OE的長.
考點: 作圖-旋轉變換;作圖-平移變換.
專題: 作圖題.
分析: (1)以點O為圓心,以OE為半徑畫弧,與y軸正半軸相交于點M,以OD為半徑畫弧,與x軸負半軸相交于點N,連接MN即可;
(2)以M為圓心,以AC長為半徑畫弧與x軸負半軸相交于點A′,B′與N重合,C′與M重合,然后順次連接即可;
(3)設OE=x,則ON=x,作MF⊥A′B′于點F,判斷出B′C′平分∠A′B′O,再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等和角平分線的對稱性可得B′F=B′O=OE=x,F C′=O C′=OD=3,利用勾股定理列式求出A′F,然后表示出A′B′、A′O,在Rt△A′B′O中,利用勾股定理列出方程求解即可.
解答: 解:(1)△OMN如圖所示;
(2)△A′B′C′如圖所示;
(3)設OE=x,則ON=x,作MF⊥A′B′于點F,
由作圖可知:B′C′平分∠A′B′O,且C′O⊥O B′,
所以,B′F=B′O=OE=x,F C′=O C′=OD=3,
∵A′C′=AC=5,
∴A′F= =4,
∴A′B′=x+4,A′O=5+3=8,
在Rt△A′B′O中,x2+82=(4+x)2,
解得x=6,
即OE=6.


點評: 本題考查了利用旋轉變換作圖,利用平移變換作圖,勾股定理,熟練掌握性質變化與平移變化的性質是解題的關鍵.
 
25.(7分)(2014•常州)某小商場以每件20元的價格購進一種服裝,先試銷一周,試銷期間每天的銷量(件)與每件的銷售價x(元/件)如下表:
x(元/件) 38 36 34 32 30 28 26
t件) 4 8 12 16 20 24 28
假定試銷中每天的銷售號 (件)與銷售價x(元/件)之間滿足一次函數.
(1)試求與x之間的函數關系式;
(2)在商品不積壓且不考慮其它因素的條件下,每件服裝的銷售定價為多少時,該小商場銷售這種服裝每天獲得的毛利潤最大?每天的最大毛利潤是多少?(注:每件服裝銷售的毛利潤=每件服裝的銷售價﹣每件服裝的進貨價)
考點: 二次函數的應用.
分析: (1)設y與x的函數關系式為t=kx+b,將x=38,y=4;x=36,y=8分別代入求出k、b,即可得到t與x之間的函數關系式;
(2)根據利潤=(售價﹣成本)×銷售量列出函數關系式,利用二次函數的性質即可求出小商場銷售這種服裝每天獲得的毛利潤最大值以及每天的最大毛利潤是多少.
解答: 解:(1)設與x之間的函數關系式為:t=kx+b,因為其經過(38,4)和(36,8)兩點,
∴ ,
解得: .
故y=﹣2x+80.

(2)設每天的毛利潤為w元,每件服裝銷售的毛利潤為(x﹣20)元,每天售出(80﹣2x)件,
則w=(x﹣20)(80﹣2x)=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200,
當x=30時,獲得的毛利潤最大,最大毛利潤為200元.
點評: 本題主要考查運用待定系數法求一次函數的解析式及二次函數的應用,根據利潤=(售價﹣成本)×銷售量列出函數關系式,另外要熟練掌握二次函數求最值的方法.
 
26.(8分)(2014•常州)我們用[a]表示不大于a的最大整數,例如:[2.5]=2,[3]=3,[﹣2.5]=﹣3;用<a>表示大于a的最小整數,例如:<2.5>=3,<4>=5,<1.5>>=﹣1.解決下列問題:
(1)[﹣4.5]= ﹣5 ,<3.5>= 4。
(2)若[x]=2,則x的取值范圍是 1<x≤2;若<y>=﹣1,則y的取值范圍是 ﹣2≤y<﹣1。
(3)已知x,y滿足方程組 ,求x,y的取值范圍.
考點: 一元一次不等式組的應用.
專題: 新定義.
分析: (1)根據題目所給信息求解;
(2)根據[2.5]=2,[3]=3,[﹣2.5]=﹣3,可得[x]=2中的1<x≤2,根據<a>表示大于a的最小整數,可得<y>=﹣1中,﹣2≤y<﹣1;
(3)先求出[x]和<y>的值,然后求出x和y的取值范圍.
解答: 解:(1)由題意得,[﹣4.5]=﹣5,<3.5>=4;
(2)∵[x]=2,
∴則x的取值范圍是1<x≤2;
∵<y>=﹣1,
∴y的取值范圍是﹣2≤y<﹣1;
(3)解方程組得: ,
∴x,y的取值范圍分別為﹣1≤x<0,2≤y<3.
點評: 本題考查了一元一次不等式組的應用,解答本題的關鍵是讀懂題意,根據題目所給的信息進行解答.
 
27.(7分)(2014•常州)在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=﹣ x2+ x+2的圖象與x軸交于點A,B(點B在點A的左側),與y軸交于點C.過動點H(0,m)作平行于x軸的直線l,直線l與二次函數y=﹣ x2+ x+2的圖象相交于點D,E.
(1)寫出點A,點B的坐標;
(2)若m>0,以DE為直徑作⊙Q,當⊙Q與x軸相切時,求m的值;
(3)直線l上是否存在一點F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

考點: 二次函數綜合題.
分析: (1)A、B兩點的縱坐標都為0,所以代入y=0,求解即可.
(2)由圓和拋物線性質易得圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點處,則Q的橫坐標為 ,可推出D、E兩點的坐標分別為:( ﹣m,m),( +m,m).因為D、E都在拋物線上,代入一點即可得m.
(3)使得△ACF是等腰直角三角形,重點的需要明白有幾種情形,分別以三邊為等腰三角形的兩腰或者底,則共有3種情形;而三種情形中F點在AC的左下或右上方又各存在2種情形,故共有6種情形.求解時.利用全等三角形知識易得m的值.
解答: 解:(1)當y=0時,有 ,
解得:x1=4,x2=﹣1,
∴A、B兩點的坐標分別為(4,0)和(﹣1,0).

(2)∵⊙Q與x軸相切,且與 交于D、E兩點,
∴圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點處,
∵拋物線的對稱軸為 ,⊙Q的半徑為H點的縱坐標m(m>0),
∴D、E兩點的坐標分別為:( ﹣m,m),( +m,m)
∵E點在二次函數 的圖象上,
∴ ,
解得 或 (不合題意,舍去).

(3)存在.
①如圖1,

當∠ACF=90°,AC=FC時,過點F作FG⊥y軸于G,
∴∠AOC=∠CGF=90°,
∵∠ACO+∠FCG=90°,∠GFC+∠FCG=90°,
∴∠ACO=∠CFG,
∴△ACO≌△∠CFG,
∴CG=AO=4,
∵CO=2,
∴m=OG=2+4=6;
反向延長FC,使得CF=CF′,此時△ACF′亦為等腰直角三角形,
易得yC﹣yF′=CG=4,
∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2.
②如圖2,

當∠CAF=90°,AC=AF時,過點F作FP⊥x軸于P,
∵∠AOC=∠APF=90°,∠ACO+∠OAC=90°,∠FAP+∠OAC=90°,
∴∠ACO=∠FAP,
∴△ACO≌△∠FAP,
∴FP=AO=4,
∴m=FP=4;
反向延長FA,使得AF=AF′,此時△ACF’亦為等腰直角三角形,
易得yA﹣yF′=FP=4,
∴m=0﹣4=﹣4.
③如圖3,

當∠AFC=90°,FA=FC時,則F點一定在AC的中垂線上,此時存在兩個點分別記為F,F′,
分別過F,F′兩點作x軸、y軸的垂線,分別交于E,G,D,H.
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°,
∴∠DFC=∠EFA,
∵∠CDF=∠AEF,CF=AF,
∴△CDF≌△AEF,
∴CD=AE,DF=EF,
∴四邊形OEFD為正方形,
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD,
∴4=2+2•CD,
∴CD=1,
∴m=OC+CD=2+1=3.
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A,
∴∠HF′C=∠GF′A,
∵∠HF′C=∠GF′A,CF′=AF′,
∴△HF′C≌△GF′A,
∴HF′=GF′,CH=AG,
∴四邊形OHF′G為正方形,
∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2,
∴OH=1,
∴m=﹣1.
∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣ )2+ ,
∴y的最大值為 .
∵直線l與拋物線有兩個交點,∴m< .
∴m可取值為:﹣4、﹣2、﹣1或3.
綜上所述,直線l上存在一點F,使得△ACF是等腰直角三角形,m的值為﹣4、﹣2、﹣1或3.
點評: 本題難度適中,考查的主要是二次函數、圓、等腰直角三角形及全等三角形性質,但是最后一問情形較多不易找全,非常鍛煉學生的全面思考.
 
28.(10分)(2014•常州)在平面直角坐標系xOy中,點M( , ),以點M為圓心,OM長為半徑作⊙M.使⊙M與直線OM的另一交點為點B,與x軸,y軸的另一交點分別為點D,A(如圖),連接AM.點P是 上的動點.
(1)寫出∠AMB的度數;
(2)點Q在射線OP上,且OP•OQ=20,過點Q作QC垂直于直線OM,垂足為C,直線QC交x軸于點E.
①當動點P與點B重合時,求點E的坐標;
②連接QD,設點Q的縱坐標為t,△QOD的面積為S.求S與t的函數關系式及S的取值范圍.

考點: 圓的綜合題.
分析: (1)首先過點M作MH⊥OD于點H,由點M( , ),可得∠MOH=45°,OH=MH= ,繼而求得∠AOM=45°,又由OM=AM,可得△AOM是等腰直角三角形,繼而可求得∠AMB的度數;
(2)①由OH=MH= ,MH⊥OD,即可求得OD與OM的值,繼而可得OB的長,又由動點P與點B重合時,OP•OQ=20,可求得OQ的長,繼而求得答案;
②由OD=2 ,Q的縱坐標為t,即可得S= ,然后分別從當動點P與B點重合時,過點Q作QF⊥x軸,垂足為F點,與當動點P與A點重合時,Q點在y軸上,去分析求解即可求得答案.
解答: 解:(1)過點M作MH⊥OD于點H,
∵點M( , ),
∴OH=MH= ,
∴∠MOD=45°,
∵∠AOD=90°,
∴∠AOM=45°,
∵OA=OM,
∴∠OAM=∠AOM=45°,
∴∠AMO=90°,
∴∠AMB=90°;
(2)①∵OH=MH= ,MH⊥OD,
∴OM= =2,OD=2OH=2 ,
∴OB=4,
∵動點P與點B重合時,OP•OQ=20,
∴OQ=5,
∵∠OQE=90°,∠POE=45°,
∴OE=5 ,
∴E點坐標為(5 ,0)
②∵OD=2 ,Q的縱坐標為t,
∴S= .
如圖2,當動點P與B點重合時,過點Q作QF⊥x軸,垂足為F點,
∵OP=4,OP•OQ=20,
∴OQ=5,
∵∠OFC=90°,∠QOD=45°,
∴t=QF= ,
此時S= ;
如圖3,當動點P與A點重合時,Q點在y軸上,
∴OP=2 ,
∵OP•OQ=20,
∴t=OQ=5 ,
此時S= ;
∴S的取值范圍為5≤S≤10.
 


點評: 此題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質以及勾股定理等知識.此題難度較大,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用.

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