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中高考家教
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2014江蘇無錫中考數學試題及答案與解析word版


作者:蘇州進步網 來源:蘇州進步網(www.tt7979.com) 發布時間:2015-01-31 閱讀次數:





2014江蘇無錫中考數學試題答案解析word版
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。在每小題所給出的四個選項中,只有一項是正確的,請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑)
1.(3分)(2014•無錫)﹣3的相反數是( 。
  A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 

考點: 相反數.來源進步網www.tt7979.com

分析: 根據相反數的概念解答即可.
解答: 解:﹣3的相反數是﹣(﹣3)=3.
故選A.來源進步網www.tt7979.com

點評: 本題考查了相反數的意義,一個數的進步網相反數就是在這個數前面添上“﹣”號;一個正數的相反數是負數,一個負數的相反數是正數,0的相反數是0.
 
2.(3分)(2014•無錫)函數y= 中自變量x的取值范圍是( 。
  A. x>2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠2

考點: 二次根式有意義的條件.
分析: 二次根式的被開方數大于等于零.
解答: 解:依題意,得
2﹣x≥0,
解得 x≤2.來源進步網www.tt7979.com
故選:C.
點評: 考查了二次根式的意義和性質.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性質:二次根式中的被開方數必須是非負數,否則二次根式無意義.
 
3.(3分)(2014•無錫)分式 可變形為( 。
  A.   B. ﹣  C.   D. ﹣

考點: 分式的基本性質.
分析: 根據分式的性質,分子分母都乘以﹣1,分式的值不變,可得答案.
解答: 解:分式 的分子分母都乘以﹣1,
得﹣ ,
故選;D.
點評: 本題考查了分式的性質,分式的分進步網子分母都乘以或除以同一個不為0的整式,分式的值不變.來源進步網www.tt7979.com

 
4.(3分)(2014•無錫)已知A樣本的數據如下:72,73,76,76,77,78,78,78,B樣本的數據恰好是A樣本數據每個都加2,則A,B兩個樣本的下列統計量對應相同的是( 。
  A. 平均數 B. 標準差 C. 中位數 D. 眾數

考點: 統計量的選擇.來源進步網www.tt7979.com

分析: 根據樣本A,B中數據之間的關系,結合眾數,平均數,中位數和標準差的定義即可得到結論.
解答: 解:設樣本A中的數據為xi,則樣本B中的數據為yi=xi+2,
則樣本數據B中的眾數和平均進步網數以及中位數和A中的眾數,平均數,中位數相差2,
只有標準差沒有發生變化,來源進步網www.tt7979.com
故選:B
點評: 本題考查眾數、平均數、中位數、標準差的定義,屬于基礎題.
 
5.(3分)(2014•無錫)某文具店一支鉛筆的售價為1.2元,一支圓珠筆的售價為2元.該店在“6•1兒童節”舉行文具優惠售賣活動,鉛筆按原價打8折出售,圓珠筆按原價打9折出售,結果兩種筆共賣出60支,賣得金額87元.若設鉛筆賣出x支,則依題意可列得的一元一次方程為( 。
  A. 1.2×0.8x+2×0.9(60+x)=87 B. 1.2×0.8x+2×0.9(60﹣x)=87
  C. 2×0.9x+1.2×0.8(60+x)=87 D. 2×0.9x+1.2×0.8(60﹣x)=87

考點: 由實際問題抽象出一元一次方程.來源進步網www.tt7979.com

分析: 設鉛筆賣出x支,根據“鉛筆按原價進步網打8折出售,圓珠筆按原價打9折出售,結果兩種筆共賣出60支,賣得金額87元”,得出等量關系:x支鉛筆的售價+(60﹣x)支圓珠筆的售價=87,據此列出方程即可.
解答: 解:設鉛筆賣出x支,由題意,得
1.2×0.8x+2×0.9(60﹣x)=87.來源進步網www.tt7979.com
故選B.
點評: 考查了由實際問題抽象出一元一次方程,根據根據描述語找到等量關系是解題的關鍵.
 
6.(3分)(2014•無錫)已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長為5cm,則這個圓錐的側面積是( 。
  A. 20πcm2 B. 20cm2 C. 40πcm2 D. 40cm2

考點: 圓錐的計算.來源進步網www.tt7979.com

分析: 圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2,把相應數值代入即可求解.
解答: 解:圓錐的側面積=2π×4×5÷2=20π.
故選A.
點評: 本題考查了圓錐的計算,解題的關鍵是弄清圓錐的側面積的計算方法,特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側進步網面扇形的弧長.
 
7.(3分)(2014•無錫)如圖,AB∥CD,則根據圖中標注的角,下列關系中成立的是( 。

  A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠3=180° C. ∠2+∠4<180° D. ∠3+∠5=180°
來源進步網www.tt7979.com
考點: 平行線的性質.
分析: 根據平行線的性質對各選項分析判斷利用排除法求解.
解答: 解:A、∵OC與OD不平行,
∴∠1=∠3不成立,故本選項錯誤;
B、∵OC與OD不平行,
∴∠2+∠3=180°不成立,故本選項錯誤;
C、∵AB∥CD,
∴∠2+∠4=180°,故本選項錯誤;
D、∵AB∥CD,
∴∠3+∠5=180°,故本選項正確.
故選D.
點評: 本題考查了平行線的性質,是基礎題,熟記性質是解題的關鍵.
 
8.(3分)(2014•無錫)如圖,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的切線,切點為D,CD與AB的延長線交于點C,∠A=30°,給出下面3個結論:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC,其中正確結論的個數是( 。﹣碓催M步網www.tt7979.com

  A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

考點: 切線的性質.
分析: 連接OD,CD是⊙O的切線,可得CD⊥OD,由∠A=30°,可以得出∠ABD=60°,△ODB是等邊三角形,∠C=∠BDC=30°,再結合在直角三角形中300所對的直角邊等于斜邊的一半,繼而得到進步網結論①②③成立.
解答: 解:如圖,連接OD,
∵CD是⊙O的切線,
∴CD⊥OD,來源進步網www.tt7979.com
∴∠ODC=90°,
又∵∠A=30°,
∴∠ABD=60°,
∴△OBD是等邊三角形,
∴∠DOB=∠ABD=60°,AB=2OB=2OD=2BD.
∴∠C=∠BDC=30°,
∴BD=BC,②成立;
∴AB=2BC,③成立;
∴∠A=∠C,
∴DA=DC,①成立;
綜上所述,①②③均成立,
故答案選:A.


點評: 本題考查了圓的有關性質的綜合應用,在本題中借用切線的性質,求得相應角的度數是解題的關鍵.
 
9.(3分)(2014•無錫)在直角坐標系中,一直線a向下平移3個單位后所得直線b經過點A(0,3),將直線b繞點A順時針旋轉60°后所得直線經過點B(﹣ ,0),則直線a的函數關系式為( 。
  A. y=﹣ x B. y=﹣ x C. y=﹣ x+6 D. y=﹣ x+6

考點: 一次函數圖象與幾何變換.
分析: 先用待定系數法求出直線AB的解析式為y= x+3,再由題意,知直線b經過A(0,3),( ,0),求出直線b的解析式為y=﹣ x+3,然后將直線b向上平移3個單位后得直線a,根進步網據上加下減的平移規律即可求出直線a的解析式.
解答: 解:設直線AB的解析式為y=kx+b,
∵A(0,3),B(﹣ ,0),
∴ ,解得 ,
∴直線AB的解析式為y= x+3.
由題意,知直線y= x+3繞點A逆時針旋轉60°后得到直線b,則直線b經過A(0,3),( ,0),
易求直線b的解析式為y=﹣ x+3,
將直線b向上平移3個單位后得直線a,所以直線a的解析式為y=﹣ x+3+3,即y=﹣ x+6.
故選C.
點評: 本題考查了一次函數圖象與幾何變換,解決本題的關鍵是得到把直線y= x+3繞點A逆時針旋轉60°后得到直線b的解析式.來源進步網www.tt7979.com

 
10.(3分)(2014•無錫)已知△ABC的三條邊長分別為3,4,6,在△ABC所在平面內畫一條直線,將△ABC分割成兩個三角形,使其中的一個是等腰三角形,則這樣的直線最多可畫( 。
  A. 6條 B. 7條 C. 8條 D. 9條

考點: 作圖—應用與設計作圖;等腰三角形的判定
分析: 利用等腰三角形的性質分別利用AB,AC為底以及為腰得出符合題意的圖形即可.
解答: 解:如圖所示:當BC1=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7時,都能得到符合題意的等腰三角形.
故選:B.


點評: 此題主要考查了等腰三角形的判定以及應用設計與作圖等知識,正確利用圖形分類討論得出是解題關鍵.
 
二、填空題(本大題共8小題,每小題2分,共16分。不需要寫出解答過程,只需把答案直接填寫在答題卡相應的位置)
11.(2分)(2014•無錫)分解因式:x3﹣4x= x(x+2)(x﹣2)。

考點: 提公因式進步網法與公式法的綜合運用.
分析: 應先提取公因式x,再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解.
解答: 解:x3﹣4x,來源進步網www.tt7979.com
=x(x2﹣4),
=x(x+2)(x﹣2).
點評: 本題考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式進行二次因式分解,分解因式一定要徹底,直到不能再分解為止.來源進步網www.tt7979.com

 
12.(2分)(2014•無錫)據國網江蘇電力公司分析,我省預計今夏統調最高用電負荷將達到86000000千瓦,這個數據用科學記數法可表示為 8.6×107 千瓦.

考點: 科學記數法—表示較大的數.
分析: 科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時,n是正數;當原數的絕對值<1時,n是負數.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:將86000000用科學記數法表示為:8.6×107.
故答案為:8.6×107.
點評: 此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數,表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.
 
13.(2分)(2014•無錫)方程 的解是 x=2。

考點: 解分式方程.
專題: 計算題.來源進步網www.tt7979.com

分析: 觀察可得進步網最簡公分母是x(x+2),方程兩邊乘最簡公分母,可以把分式方程轉化為整式方程求解.
解答: 解:方程的兩邊同乘x(x+2),得
2x=x+2,
解得x=2.
檢驗:把x=2代入x(x+2)=8≠0.
∴原方程的解為:x=2.
故答案為x=2.來源進步網www.tt7979.com

點評: 本題考查了分式方程的解法,注:
(1)解分式方程的基本思想是“轉化思想”,把分式方程轉化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要驗根.
 
14.(2分)(2014•無錫)已知雙曲線y= 經過點(﹣2,1),則k的值等于 ﹣1。

考點: 反比例函數圖象上點的坐標特征.
分析: 直接把點(﹣2,1)代入雙曲線y= ,求出k的值即可.
解答: 解:∵雙曲線y= 經過點(﹣2,1),
∴1= ,
解得k=﹣1.
故答案為:﹣1.
點評: 本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點,即反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式.
 
15.(2分)(2014•無錫)如圖,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中點.若AD=6,DE=5,則CD的長等于 8。


考點: 勾股定理;直進步網角三角形斜邊上的中線
分析: 由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10;然后在直角△ACD中,利用勾股定理來求線段CD的長度即可.
解答: 解:如圖,∵△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中點,DE=5,
∴DE= AC=5,
∴AC=10.
在直角△ACD中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,則根據勾股定理,得
CD= = =8.
故答案是:8.
點評: 本題考查了勾股定理,直角三角形斜邊上的中線.利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長度是解題的難點.
 
16.(2分)(2014•無錫)如圖,▱ABCD中,AE⊥BD于E,∠EAC=30°,AE=3,則AC的長等于 4 。


考點: 平行四邊形的性質;解直角三角形
分析: 設對角線AC和BD相交于點O,在直角△AOE中,利用三角函數求得OA的長,然后根據平行四邊形的對角線互相平分即可求得.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:∵在直角△AOE中,cos∠EAC= ,
∴OA= = =2 ,
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AC=2OA=4 .
故答案是:4 .


點評: 本題考查了三進步網角函數的應用,以及平行四邊形的性質:平行四邊形的對角線互相平分,正確求得OA的長是關鍵.
 
17.(2分)(2014•無錫)如圖,已知點P是半徑為1的⊙A上一點,延長AP到C,使PC=AP,以AC為對角線作▱ABCD.若AB= ,則▱ABCD面積的最大值為 2 。


考點: 平行四邊形的性質;勾股定理;切線的性質.
分析: 由已知條件可知AC=2,AB= ,應該是當AB、AC是直角邊時三角形的面積最大,根據AB⊥AC即可求得.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:由已知條件可知,當AB⊥AC時▱ABCD的面積最大,
∵AB= ,AC=2,
∴S△ABC= = ,
∴S▱ABCD=2S△ABC=2 ,來源進步網www.tt7979.com
∴▱ABCD面積的最大值為 2 .
故答案為2 .
點評: 本題考查了平行四邊形面積最值的問題的解決方法,找出什么情況下三角形的面積最大是解決本題的關鍵.
 
18.(2分)(2014•無錫)如圖,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半徑分別為2和1,P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點,則PE+PF的最小值是 3。


考點: 軸對稱-最短路線問題;菱形的性質;相切兩圓的性質.
分析: 利用菱形的性質以及相切兩圓的性質得出P與D重合時PE+PF的最小值,進而求出即可.
解答: 解:由題進步網意可得出:當P與D重合時,E點在AD上,F在BD上,此時PE+PF最小,
連接BD,來源進步網www.tt7979.com
∵菱形ABCD中,∠A=60°,
∴AB=AD,則△ABD是等邊三角形,
∴BD=AB=AD=3,
∵⊙A、⊙B的半徑分別為2和1,
∴PE=1,DF=2,
∴PE+PF的最小值是3.
故答案為:3.


點評: 此題主要考查了菱形的性質以及相切兩圓的性質等知識,根據題意得出P點位置是解題關鍵.
 
三、解答題(本大題共10小題,共84分。請在答題卡指定區域內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.(8分)(2014•無錫)(1) ﹣|﹣2|+(﹣2)0;
(2)(x+1)(x﹣1)﹣(x﹣2)2.來源進步網www.tt7979.com

考點: 實數的運算;整式的混合運算;零指數冪
專題: 計算題.
分析: (1)原式第一項利用平方根定義化簡,第二項利用絕對值的代數意義化簡,最后一項利用零指數冪法則計算即可得到結果;來源進步網www.tt7979.com
(2)原式第一項利用平方差公式化簡,第二項利用完全平方公式展開,去括號合并即可得到結果.
解答: 解:(1)原式=3﹣2+1=2;來源進步網www.tt7979.com
(2)原式=x2﹣1﹣x2+4x﹣4=4x﹣5.
點評: 此題考查了實數的運算,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
 
20.(8分)(2014•無錫)(1)解方程:x2﹣5x﹣6=0;
(2)解不等式組: .

考點: 解一元二次方程-因式分解法;解一元一次不等式組.
專題: 計算題.
分析: (1)方程左邊分解因式后,利用兩數相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程進步網來求解;
(2)分別求出不等式組中兩不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
解答: 解:(1)方程變形得:(x﹣6)(x+1)=0,
解得:x1=6,x2=﹣1;

(2) ,
由①得:x≥3;
由②得:x>5,
則不等式組的解集為x>5.來源進步網www.tt7979.com

點評: 此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,以及一元一次不等式組,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
 
21.(6分)(2014•無錫)如圖,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中點,D、E分別是AB、AC邊上的點,且BD=CE.求證:MD=ME.


考點: 全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質
專題: 證明題.
分析: 根據等腰三角形的性質可證∠DBM=∠ECM,可證△BDM≌△CEM,可得MD=ME,即可解題.
解答: 證明:△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠DBM=∠ECM,來源進步網www.tt7979.com
∵M是BC的中點,
∴BM=CM,
在△BDM和△CEM中,
,
∴△BDM≌△CEM(SAS),
∴MD=ME.
點評: 本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形對應邊相等的性質.
 
22.(8分)(2014•無錫)如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓O上的兩點,且OD∥BC,OD與AC交于點E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度數;來源進步網www.tt7979.com
(2)若AB=4,AC=3,求DE的長.


考點: 圓周進步網角定理;平行線的性質;三角形中位線定理
分析: (1)根據圓周角定理可得∠ACB=90°,則∠CAB的度數即可求得,在等腰△AOD中,根據等邊對等角求得∠DAO的度數,則∠CAD即可求得;
(2)易證OE是△ABC的中位線,利用中位線定理求得OE的長,則DE即可求得.
解答: 解:(1)∵AB是半圓O的直徑,
∴∠ACB=90°,來源進步網www.tt7979.com
又∵OD∥BC,
∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;

(2)在直角△ABC中,BC= = = .
∵OE⊥AC,
∴AE=EC,
又∵OA=OB,
∴OE= BC= .
又∵OD= AB=2,
∴DE=OD﹣OE=2﹣ .
點評: 本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理,正確證明OE是△ABC的中位線是關鍵.
 
23.(6分)(2014•無錫)為了解“數學思想作文對學習數學幫助有多大?”一研究員隨機抽取了一定數量的高校大一學生進行了問卷調查,并將調查得到的數據用下面的扇形圖和表來表示(圖、表都沒制作完成).
選項 幫助很大 幫助較大 幫助不大 幾乎沒有幫助
人數 a 543 269 b
根據圖、表提供的信息.來源進步網www.tt7979.com
(1)請問:這次共有多少名學生參與了問卷調查?
(2)算進步網出表中a、b的值.
(注:計算中涉及到的“人數”均精確到1)


考點: 扇形統計圖;統計表.
分析: (1)用“幫助較大”的人數除以所占的百分比計算即可得解;
(2)用參與問卷調查的學生人數乘以“幫助很大”所占的百分比計算即可求出a,然后根據總人數列式計算即可求出b.
解答: 解:(1)參與問卷調查的學生人數=543÷43.65%≈1244;

(2)a=1244×25.40%=316,來源進步網www.tt7979.com
b=1244﹣316﹣543﹣269=1244﹣1128=116.
點評: 本題進步網考查的是扇形統計圖的綜合運用.讀懂統計圖,從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大。
 
24.(10分)(2014•無錫)三個小球分別標有﹣2,0,1三個數,這三個球除了標的數不同外,其余均相同,將小球放入一個不透明的布袋中攪勻.來源進步網www.tt7979.com
(1)從布袋中任意摸出一個小球,將小球上所標之數記下,然后將小球放回袋中,攪勻后再任意摸出一個小球,再記下小球上所標之數,求兩次記下之數的和大于0的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法給出分析過程,并求出結果)
(2)從布袋中任意摸出一個小球,將小球上所標之數記下,然后將小球放回袋中,攪勻后再任意摸出一個小球,將小球上所標之數再記下,…,這樣一共摸了13次.若記下的13個數之和等于﹣4,平方和等于14.求:這13次摸球中,摸到球上所標之數是0的次數.

考點: 列表法與樹狀圖法.
專題: 圖表型.來源進步網www.tt7979.com

分析: (1)根據題意畫出樹狀圖,然后根據概率公式列式計算即可得解;
(2)設摸出﹣2、0、1的次數分別為x、y、z,根據摸出的次數、13個是的和、平方和列出三元一次方程組,然后求解即進步網可.
解答: 解:(1)根據題意畫出樹狀圖如下:

所有等可能的情況數有9種,其中兩次記下之數的和大于0的情況有3種,
則P= = ;來源進步網www.tt7979.com

(2)設摸出﹣2、0、1的次數分別為x、y、z,
由題意得, ,
③﹣②得,6x=18,
解得x=3,來源進步網www.tt7979.com
把x=3代入②得,﹣2×3+z=﹣4,
解得z=2,
把x=3,z=2代入①得,y=8,
所以,方程組的解是 ,
故摸到球上所標之數是0的次數為8.
點評: 此題考查了列表法與樹狀圖法,用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比,難點在于(2)列出三元一次方程組.
 
25.(8分)(2014•無錫)(1)如圖1,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,現以C為圓心、CB長為半徑畫弧交邊AC于D,再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E.求證: = .(這個比值 叫做AE與AB的黃金比.)
(2)如果一等腰三角形的底邊與腰進步網的比等于黃金比,那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形.請你以圖2中的線段AB為腰,用直尺和圓規,作一個黃金三角形ABC.
(注:直尺沒有刻度!作圖不要求寫作法,但要求保留作圖痕跡,并對作圖中涉及到的點用字母進行標注)


考點: 作圖—應用與設計作圖;黃金分割.
分析: (1)利用位置數表示出AB,AC,BC的長,進而得出AE的長,進而得出答案;
(2)根據底與腰之比均為黃進步網金比的等腰三角形,畫圖即可.
解答: (1)證明:∵Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,
∴設AB=2x,BC=x,則AC= x,
∴AD=AE=( ﹣1)x,
∴ = = .

(2)解:底與腰之比均為黃金比的等腰三角形,如圖:


點評: 此題主要考查了黃金三角形的作法以及黃金三角形的性質,根據已知得出底邊作法是解題關鍵.來源進步網www.tt7979.com

 
26.(10分)(2014•無錫)如圖,二次函數y=ax2+bx(a<0)的圖象過坐標原點O,與x軸的負半軸交于點A,過A點的直線與y軸交于B,與二次函數的圖象交于另一點C,且C點的橫坐標為﹣1,AC:BC=3:1.
(1)求點A的坐標;來源進步網www.tt7979.com
(2)設二次函數圖象的頂點為F,其對稱軸與直線AB及x軸分別交于點D和點E,若△FCD與△AED相似,求此二次函進步網數的關系式.來源進步網www.tt7979.com


考點: 二次函數綜合題.
分析: (1)過點C作CM∥OA交y軸于M,則△BCM∽△BAO,根據相似三角形對應邊成比例得出 = = ,即OA=4CM=4,由此得出點A的坐標為(﹣4,0);
(2)先將A(﹣4,0)代入y=ax2+bx,化簡得出b=4a,即y=ax2+4ax,則頂點F(﹣2,﹣4a),設直線AB的解析式為y=kx+n,將A(﹣4,0)代入,化簡得n=4k,即直線AB的解析式為y=kx+4k,則B點(0,4k),D(﹣2,2k),C(﹣1,3k).由C(﹣1,3k)在拋物線y=ax2+4ax上,得出3k=a﹣4a,化簡得到k=﹣a.再由△FCD與直角△AED相似,則△FCD是直角三角形,又∠FDC=∠ADE<90°,∠CFD<90°,得出∠FCD=90°,△FCD∽△AED.再根據兩點之間的距離公式得出FC2=CD2=1+a2,得出△FCD是等腰直角三角形,則△AED也進步網是等腰直角三角形,所以∠DAE=45°,由三角形內角和定理求出∠OBA=45°,那么OB=OA=4,即4k=4,求出k=1,a=﹣1,進而得到此二次函數的關系式為y=﹣x2﹣4x.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:(1)如圖,過點C作CM∥OA交y軸于M.
∵AC:BC=3:1,
∴ = .
∵CM∥OA,
∴△BCM∽△BAO,
∴ = = = ,
∴OA=4CM=4,
∴點A的坐標為(﹣4,0);

(2)∵二次函數y=ax2+bx(a<0)的圖象過A點(﹣4,0),
∴16a﹣4b=0,
∴b=4a,來源進步網www.tt7979.com
∴y=ax2+4ax,對稱軸為直線x=﹣2,
∴F點坐標為(﹣2,﹣4a).
設直線AB的解析式為y=kx+n,將A(﹣4,0)代入,
得﹣4k+n=0,
∴n=4k,
∴直線AB的進步網解析式為y=kx+4k,
∴B點坐標為(0,4k),D點坐標為(﹣2,2k),C點坐標為(﹣1,3k).
∵C(﹣1,3k)在拋物線y=ax2+4ax上,
∴3k=a﹣4a,
∴k=﹣a.來源進步網www.tt7979.com
∵△AED中,∠AED=90°,
∴若△FCD與△AED相似,則△FCD是直角三角形,
∵∠FDC=∠ADE<90°,∠CFD<90°,
∴∠FCD=90°,
∴△FCD∽△AED.
∵F(﹣2,﹣4a),C(﹣1,3k),D(﹣2,2k),k=﹣a,
∴FC2=(﹣1+2)2+(3k+4a)2=1+a2,CD2=(﹣2+1)2+(2k﹣3k)2=1+a2,
∴FC=CD,
∴△FCD是等腰直角三角形,
∴△AED是等腰直角三角形,
∴∠DAE=45°,
∴∠OBA=45°,來源進步網www.tt7979.com
∴OB=OA=4,
∴4k=4,
∴k=1,
∴a=﹣1,
∴此二次函數的關系式為y=﹣x2﹣4x.


點評: 本題是二次函數的綜合題型,其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定與性質,運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式,兩點之間的距離公式、拋物線對稱軸的求法,函數圖象上點的坐標特征.綜合性較強,有一定難度.(2)中得出△FCD是等腰直角三角形是解題的關鍵.
 
27.(10分)(2014•無錫)某發電廠共有6臺發電機發電,每臺的發電量為300萬千瓦/月.該廠計劃從今年7月開始到年底,對6臺發電機各進行一次改造升級.每月改造升級1臺,這臺發電機當月停機,并于進步網次月再投入發電,每臺發電機改造升級后,每月的發電量將比原來提高20%.已知每臺發電機改造升級的費用為20萬元.將今年7月份作為第1個月開始往后算,該廠第x(x是正整數)個月的發電量設為y(萬千瓦).來源進步網www.tt7979.com
(1)求該廠第2個月的發電量及今年下半年的總發電量;
(2)求y關于x的函數關系式;
(3)如果每發1千瓦電可以盈利0.04元,那么從第1個月開始,至少要到第幾個月,這期間該廠的發電盈利扣除發電機改造升級費用后的盈利總額ω1(萬元),將超過同樣時間內發電機不作改造升級時的發電盈利總額ω2(萬元)?來源進步網www.tt7979.com

考點: 一次函數的應用.
分析: (1)由題意可以知道第1個月的發電量是300×5千瓦,第2個月的發電量為300×4+300(1+20%),第3個月的發電量為300×3+300×2×(1+20%),第4個月的發電量為300×2+300×3×(1+20%),第5個月的發電量為300×1+300×4×(1+20%),第6個月的發電量為300×5×(1+20%),將6個月的總電量加起來就可以求出總電量.
(2)由總發電量=各臺機器的發電量之和根據(1)的結論設y與x之間的關系式為y=kx+b建立方程組求出其解即可;
(3)由總利潤=發電盈利﹣發電機改造升級費用,分別表示出ω1,ω2,再根據條件建立不等式求出其解即可.來源進步網www.tt7979.com

解答: 解:(1)由題意,得
第2個月的發電量為:300×4+300(1+20%)=1560千瓦,
今年下半年的總發電量為:300×5+1560+300×3+300×2×(1+20%)+300×2+300×3×(1+20%)+300×1+300×4×(1+20%)+300×5×(1+20%),
=1500+1560+1620+1680+1740+1800,
=9900.
答:該廠第2個月的發電量為1560千瓦;今年下半年的總發電量為9900千瓦;

(2)設y與x之間的關系式為y=kx+b,由題意,得
,
解得: ,
∴y=60x+1440(1≤x≤6).
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(3)設到第n個月時ω1>ω2,
當n=6時,ω1=9900×0.04﹣20×6=276,ω2=300×6×6×0.04=432,ω1>ω2不符合.
∴n>6.來源進步網www.tt7979.com
∴ω1=[9900+360×6(n﹣6)]×0.04﹣20×6=86.4n﹣240,
ω2=300×6n×0.04=72n.
86.4a﹣122.4>72a,
當ω1>ω2時,86.4n﹣240>72n,解之得n>16.7,∴n=17.
答:至進步網少要到第17個月ω1超過ω2.來源進步網www.tt7979.com

點評: 本題考查了一次函數的運用,列一元一次不等式解實際問題的運用,總利潤=發電盈利﹣發電機改造升級費用,解答時求出一次函數解析式是解答本題的關鍵.
 
28.(10分)(2014•無錫)如圖1,已知點A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分線交AB于C,一動點P從O點出發,以每秒2個單位長度的速度,沿y軸向點B作勻速運動,過點P且平行于AB的直線交x軸于Q,作P、Q關于直線OC的對稱點M、N.設P運動的時間為t(0<t<2)秒.
(1)求C點的坐標,并直接寫出點M、N的坐標(用含t的代數式表示);
(2)設△MNC與△OAB重疊部分的面積為S.
①試求S關于t的函數關系式;來源進步網www.tt7979.com
②在圖2的直角坐標系中,畫出S關于t的函數圖象,并回答:S是否有最大值?若有,寫出S的最大值;若沒有,請說明理由.


考點: 相似形綜合題
分析: (1)如答圖1,作輔助線,由比例式求出點D的坐標;
(2)①所求函數關系式為分段函數,需要分類討論.來源進步網www.tt7979.com
答圖2﹣1,答圖2﹣2表示出運動過程中重疊部分(陰影)的變化,分別求解;
②畫出函數圖象,由兩段拋物線構成.觀察圖象,可知當t=1時,S有最大值.
解答: 解:(1)如答圖1,過點C作CF⊥x軸于點F,CE⊥y軸于點E,
由題意,易進步網知四邊形OECF為正方形,設正方形邊長為x.

∵CE∥x軸,
∴ ,即 ,解得x= .
∴C點坐標為( , );來源進步網www.tt7979.com
∵PQ∥AB,
∴ ,即 ,
∴OP=2OQ.
∵P(0,2t),
∴Q(t,0).
∵對稱軸OC為第一象限的角平分線,
∴對稱點坐標為:M(2t,0),N(0,t).

(2)①當0<t≤1時,如答圖2﹣1所示,點M在線段OA上,重疊部分面積為S△CMN.

S△CMN=S四邊形CMON﹣S△OMN
=(S△COM+S△CON)﹣S△OMN
=( •2t× + •t× )﹣ •2t•t
=﹣t2+2t;
當1<t<2時,如答圖2﹣2所示,點M在OA的延長線上,設MN與AB交于點D,則重疊部分面積為S△CDN.
設直線MN的解析式為y=kx+b,將M(2t,0)、N(0,t)代入得 ,
解得 ,
∴y=﹣ x+t;
同理求得進步網直線AB的解析式為:y=﹣2x+4.
聯立y=﹣ x+t與y=﹣2x+4,求得點D的橫坐標為 .
S△CDN=S△BDN﹣S△BCN
= (4﹣t)• ﹣ (4﹣t)×
= t2﹣2t+ .
綜上所述,S= .
②畫出函數圖象,如答圖2﹣3所示:

觀察圖象,可知當t=1時,S有最大值,最大值為1.
點評: 本題進步網是運動型綜合題,涉及二次函數與一次函數、待定系數法、相似、圖形面積計算、動點問題函數圖象等知識點.難點在于第(2)問,正確地進行分類討論,是解決本題的關鍵.

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