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2014年江蘇揚州中考數學試卷及答案


作者:蘇州進步網 來源:蘇州進步網(www.tt7979.com) 發布時間:2014-11-30 閱讀次數:





江蘇省揚州市2014年中考數學試卷
參考答案試題解析
一、選擇題(共8小題,每小題3分,滿分24分)
1.(3分)(2014•揚州)下列各數中,比﹣2小的數是( 。
  A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 1

考點有理數大小比較.
分析: 根據題意,結合實數大小的比較,從符號和絕對值兩個方面分析可得答案.
解答: 解:比﹣2小的數是應該是負數,且絕對值大于2的數;
分析選項可得,只有A符合.
故選A.
點評: 本題考查實數大小的比較,是基礎性的題目.
 
2.(3分)(2014•揚州)若□×3xy=3x2y,則□內應填的單項式是( 。
  A. xy B. 3xy C. x D. 3x

考點: 單項式乘單項式
專題: 計算題.
分析: 根據題意列出算式,計算即可得到結果.
解答: 解:根據題意得:3x2y÷3xy=x,
故選C
點評: 此題考查了單項式乘單項式,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
 
3.(3分)(2014•揚州)若反比例函數y= (k≠0)的圖象經過點P(﹣2,3),則該函數的圖象   的點是( 。
  A. (3,﹣2) B. (1,﹣6) C. (﹣1,6) D. (﹣1,﹣6)

考點: 反比例函數圖象上點的坐標特征
分析: 先把P(﹣2,3)代入反比例函數的解析式求出k=﹣6,再把所給點的橫縱坐標相乘,結果不是﹣6的,該函數的圖象就不經過此點.
解答: 解:∵反比例函數y= (k≠0)的圖象經過點P(﹣2,3),
∴k=﹣2×3=﹣6,
∴只需把各點橫縱坐標相乘,不是﹣6的,該函數的圖象就不經過此點,
四個選項中只有D不符合.
故選D.
點評: 本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征,所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數.
 
4.(3分)(2014•揚州)若一組數據﹣1,0,2,4,x的極差為7,則x的值是( 。
  A. ﹣3 B. 6 C. 7 D. 6或﹣3

考點: 極差
分析: 根據極差的定義分兩種情況進行討論,當x是最大值時,x﹣(﹣1)=7,當x是最小值時,4﹣x=7,再進行計算即可.
解答: 解:∵數據﹣1,0,2,4,x的極差為7,
∴當x是最大值時,x﹣(﹣1)=7,
解得x=6,
當x是最小值時,4﹣x=7,
解得x=﹣3,
故選D.
點評: 此題考查了極差,求極差的方法是用最大值減去最小值,本題注意分兩種情況討論.
 
5.(3分)(2014•揚州)如圖,圓與圓的位置關系沒有( 。

  A. 相交 B. 相切 C. 內含 D. 外離

考點: 圓與圓的位置關系
分析: 由其中兩圓有的位置關系是:內切,外切,內含、外離.即可求得答案.
解答: 解:∵如圖,其中兩圓有的位置關系是:內切,外切,內含、外離.
∴其中兩圓沒有的位置關系是:相交.
故選A.
點評: 此題考查了圓與圓的位置關系.注意掌握數形結合思想的應用.
 
6.(3分)(2014•揚州)如圖,已知正方形的邊長為1,若圓與正方形的四條邊都相切,則陰影部分的面積與下列各數最接近的是( 。

  A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4

考點: 估算無理數的大小
分析: 先估算出圓的面積,再根據S陰影=S正方形﹣S圓解答.
解答: 解:∵正方形的邊長為1,圓與正方形的四條邊都相切,
∴S陰影=S正方形﹣S圓=1﹣0.25π≈﹣0.215.
故選B.
點評: 本題考查的是估算無理數的大小,熟知π≈3.14是解答此題的關鍵.
 
7.(3分)(2014•揚州)如圖,已知∠AOB=60°,點P在邊OA上,OP=12,點M,N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM=( 。

  A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

考點: 含30度角的直角三角形;等腰三角形的性質
專題: 計算題.
分析: 過P作PD⊥OB,交OB于點D,在直角三角形POD中,利用銳角三角函數定義求出OD的長,再由PM=PN,利用三線合一得到D為MN中點,根據MN求出MD的長,由OD﹣MD即可求出OM的長.
解答: 解:過P作PD⊥OB,交OB于點D,
在Rt△OPD中,cos60°= = ,OP=12,
∴OD=6,
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND= MN=1,
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故選C.


點評: 此題考查了含30度直角三角形的性質,等腰三角形的性質,熟練掌握直角三角形的性質是解本題的關鍵.
 
8.(3分)(2014•揚州)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,點M、N分別在AB、AD邊上,若AM:MB=AN:ND=1:2,則tan∠MCN=( 。

  A.   B.   C.   D.  ﹣2

考點: 全等三角形的判定與性質;三角形的面積;角平分線的性質;含30度角的直角三角形;勾股定理
專題: 計算題.
分析: 連接AC,通過三角形全等,求得∠BAC=30°,從而求得BC的長,然后根據勾股定理求得CM的長,
連接MN,過M點作ME⊥ON于E,則△MNA是等邊三角形求得MN=2,設NF=x,表示出CF,根據勾股定理即可求得MF,然后求得tan∠MCN.
解答: 解:∵AB=AD=6,AM:MB=AN:ND=1:2,
∴AM=AN=2,BM=DN=4,
連接MN,連接AC,

∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(LH)
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°,MC=NC,
∴BC= AC,
∴AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,
3BC2=AB2,
∴BC=2 ,
在Rt△BMC中,CM= = =2 .
∵AN=AM,∠MAN=60°,
∴△MAN是等邊三角形,
∴MN=AM=AN=2,
過M點作ME⊥ON于E,設NE=x,則CE=2 ﹣x,
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2,即4﹣x2=(2 )2﹣(2 ﹣x)2,
解得:x= ,
∴EC=2 ﹣ = ,
∴ME= = ,
∴tan∠MCN= =
故選A.
點評: 此題考查了全等三角形的判定與性質,勾股定理以及解直角三角函數,熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.
 
二、填空題(共10小題,每小題3分,滿分30分)
9.(3分)(2014•揚州)據統計,參加今年揚州市初中畢業、升學統一考試的學生約36800人,這個數據用科學記數法表示為 3.68×104。

考點: 科學記數法—表示較大的數
分析: 科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時,n是正數;當原數的絕對值<1時,n是負數.
解答: 解:將36800用科學記數法表示為:3.68×104.
故答案為:3.68×104.
點評: 此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數,表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.
 
10.(3分)(2014•揚州)若等腰三角形的兩條邊長分別為7cm和14cm,則它的周長為 35 cm.

考點: 等腰三角形的性質;三角形三邊關系.菁優網版權所有
分析: 題目給出等腰三角形有兩條邊長為7cm和14cm,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進行討論,還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.
解答: 解:①14cm為腰,7cm為底,此時周長為14+14+7=35cm;
②14cm為底,7cm為腰,則兩邊和等于第三邊無法構成三角形,故舍去.
故其周長是35cm.
故答案為35.
點評: 此題主要考查學生對等腰三角形的性質及三角形的三邊關系的掌握情況.已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進行討論,還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答,這點非常重要,也是解題的關鍵.
 








11.(3分)(2014•揚州)如圖,這是一個長方體的主視圖和俯視圖,由圖示數據(單元:cm)可以得出該長方體的體積是 18 cm3.


考點: 由三視圖判斷幾何體.
分析: 首先確定該幾何體為立方體,并說出其尺寸,直接計算其體積即可.
解答: 解:觀察其視圖知:該幾何體為立方體,且立方體的長為3,寬為2,高為3,
故其體積為:3×3×2=18,
故答案為:18.
點評: 本題考查了由三視圖判斷幾何體,牢記立方體的體積計算方法是解答本題的關鍵.
 
12.(3分)(2014•揚州)如圖,某校根據學生上學方式的一次抽樣調查結果,繪制出一個未完成的扇形統計圖,若該校共有學生700人,則據此估計步行的有 280 人.


考點: 用樣本估計總體;扇形統計圖.
分析: 先求出步行的學生所占的百分比,再用學生總數乘以步行學生所占的百分比即可估計全校步行上學的學生人數.
解答: 解:∵騎車的學生所占的百分比是 ×100%=35%,
∴步行的學生所占的百分比是1﹣10%﹣15%﹣35%=40%,
∴若該校共有學生700人,則據此估計步行的有700×40%=280(人).
故答案為:280.
點評: 本題考查了扇形統計圖及用樣本估計總數的知識,解題的關鍵是從統計圖中得出步行上學學生所占的百分比.
 






13.(3分)(2014•揚州)如圖,若該圖案是由8個全等的等腰梯形拼成的,則圖中的∠1= 67.5°。


考點: 等腰梯形的性質;多邊形內角與外角
分析: 首先求得正八邊形的內角的度數,則∠1的度數是正八邊形的度數的一半.
解答: 解:正八邊形的內角和是:(8﹣2)×180°=1080°,
則正八邊形的內角是:1080÷8=135°,
則∠1= ×135°=67.5°.
故答案是:67.5°.
點評: 本題考查了正多邊形的內角和的計算,正確求得正八邊形的內角的度數是關鍵.
 
14.(3分)(2014•揚州)如圖,△ABC的中位線DE=5cm,把△ABC沿DE折疊,使點A落在邊BC上的點F處,若A、F兩點間的距離是8cm,則△ABC的面積為 40 cm3.


考點: 翻折變換(折疊問題);三角形中位線定理
分析: 根據對稱軸垂直平分對應點連線,可得AF即是△ABC的高,再由中位線的性質求出BC,繼而可得△ABC的面積.
解答: 解:∵DE是△ABC的中位線,
∴DE∥BC,BC=2DE=10cm;
由折疊的性質可得:AF⊥DE,
∴AF⊥BC,
∴S△ABC= BC×AF= ×10×8=40cm2.
故答案為:40.


點評: 本題考查了翻折變換的性質及三角形的中位線定理,解答本題的關鍵是得出AF是△ABC的高.
 
15.(3分)(2014•揚州)如圖,以△ABC的邊BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點D、E,連結OD、OE,若∠A=65°,則∠DOE= 50°。


考點: 圓的認識;三角形內角和定理;等腰三角形的性質.
分析: 首先根據三角形內角和求得∠B+∠C的度數,然后求得其二倍,然后利用三角形的內角和求得∠BOD+∠EOC,然后利用平角的性質求得即可.
解答: 解:∵∠A=65°,
∴∠B+∠C=180°﹣65°=115°,
∴∠BDO=∠DBO,∠OEC=∠OCE,
∴∠BDO+∠DBO+∠OEC+∠OCE=2×115°=230°,
∴∠BOD+∠EOC=2×180°﹣230°=130°,
∴∠DOE=180°﹣130°=50°,
故答案為:50°.
點評: 本題考查了圓的認識及三角形的內角和定理等知識,難度不大.
 
16.(3分)(2014•揚州)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸是過點(1,0)且平行于y軸的直線,若點P(4,0)在該拋物線上,則4a﹣2b+c的值為 0。


考點: 拋物線與x軸的交點
分析: 依據拋物線的對稱性求得與x軸的另一個交點,代入解析式即可.
解答: 解:設拋物線與x軸的另一個交點是Q,
∵拋物線的對稱軸是過點(1,0),與x軸的一個交點是P(4,0),
∴與x軸的另一個交點Q(﹣2,0),
把(﹣2,0)代入解析式得:0=4a﹣2b+c,
∴4a﹣2b+c=0,
故答案為:0.


點評: 本題考查了拋物線的對稱性,知道與x軸的一個交點和對稱軸,能夠表示出與x軸的另一個交點,求得另一個交點坐標是本題的關鍵.
 
17.(3分)(2014•揚州)已知a,b是方程x2﹣x﹣3=0的兩個根,則代數式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值為 23。

考點: 因式分解的應用;一元二次方程的解;根與系數的關系
專題: 計算題.
分析: 根據一元二次方程解的定義得到a2﹣a﹣3=0,b2﹣b﹣3=0,即a2=a+3,b2=b+3,則2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)﹣11a﹣b+5,整理得
2a2﹣2a+17,然后再把a2=a+3代入后合并即可.
解答: 解:∵a,b是方程x2﹣x﹣3=0的兩個根,
∴a2﹣a﹣3=0,b2﹣b﹣3=0,即a2=a+3,b2=b+3,
∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)﹣11a﹣b+5
=2a2﹣2a+17
=2(a+3)﹣2a+17
=2a+6﹣2a+17
=23.
故答案為23.
點評: 本題考查了因式分解的運用:利用因式分解解決求值問題;利用因式分解解決證明問題;利用因式分解簡化計算問題.也考查了一元二次方程解的定義.
 
18.(3分)(2014•揚州)設a1,a2,…,a2014是從1,0,﹣1這三個數中取值的一列數,若a1+a2+…+a2014=69,(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2014+1)2=4001,則a1,a2,…,a2014中為0的個數是 165。

考點: 規律型:數字的變化類.
分析: 首先根據(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2014+1)2得到a12+a22+…+a20142+2152,然后設有x個1,y個﹣1,z個0,得到方程組 ,解方程組即可確定正確的答案.
解答: 解:(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2014+1)2=a12+a22+…+a20142+2(a1+a2+…+a2014)+2014
=a12+a22+…+a20142+2×69+2014
=a12+a22+…+a20142+2152,
設有x個1,y個﹣1,z個0
∴ ,
化簡得x﹣y=69,x+y=1849
解得x=959,y=890,z=165
∴有959個1,890個﹣1,165個0,
故答案為:165.
點評: 本題考查了數字的變化類問題,解題的關鍵是對給出的式子進行正確的變形,難度較大.
 
三、解答題(共10小題,滿分96分)
19.(8分)(2014•揚州)(1)計算:(3.14﹣π)0+(﹣ )﹣2﹣2sin30°;
(2)化簡: ﹣ ÷ .

考點: 實數的運算;分式的混合運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
專題: 計算題.
分析: (1)原式第一項利用零指數冪法則計算,第二項利用負指數冪法則計算,最后一項利用特殊角的三角函數值計算即可得到結果;
(2)原式第二項利用除法法則變形,約分后兩項利用同分母分式的減法法則計算即可得到結果.
解答: 解:(1)原式=1+4﹣1=4;
(2)原式= ﹣ • = ﹣ = .

點評: 此題考查了實數的運算,以及分式的混合運算,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
 
20.(8分)(2014•揚州)已知關于x的方程(k﹣1)x2﹣(k﹣1)x+ =0有兩個相等的實數根,求k的值.

考點: 根的判別式;一元二次方程的定義
分析: 根據根的判別式令△=0,建立關于k的方程,解方程即可.
解答: 解:∵關于x的方程(k﹣1)x2﹣(k﹣1)x+ =0有兩個相等的實數根,
∴△=0,
∴[﹣(k﹣1)]2﹣4(k﹣1) =0,
整理得,k2﹣3k+2=0,
即(k﹣1)(k﹣2)=0,
解得:k=1(不符合一元二次方程定義,舍去)或k=2.
∴k=2.
點評: 本題考查了根的判別式,一元二次方程根的情況與判別式△的關系:
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;
(3)△<0⇔方程沒有實數根.
 
21.(8分)(2014•揚州)八(2)班組織了一次經典朗讀比賽,甲、乙兩隊各10人的比賽成績如下表(10分制):
甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10
乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9
(1)甲隊成績的中位數是 9.5 分,乙隊成績的眾數是 10 分;
(2)計算乙隊的平均成績和方差;
(3)已知甲隊成績的方差是1.4分2,則成績較為整齊的是 乙 隊.

考點: 方差;加權平均數;中位數;眾數.
分析: (1)根據中位數的定義求出最中間兩個數的平均數;根據眾數的定義找出出現次數最多的數即可;
(2)先求出乙隊的平均成績,再根據方差公式進行計算;
(3)先比較出甲隊和乙隊的方差,再根據方差的意義即可得出答案.
解答: 解:(1)把甲隊的成績從小到大排列為:7,7,8,9,9,10,10,10,10,10,最中間兩個數的平均數是(9+10)÷2=9.5(分),
則中位數是9.5分;
10出現了4次,出現的次數最多,
則乙隊成績的眾數是10分;
故答案為:9.5,10;

(2)乙隊的平均成績是: (10×4+8×2+7+9×3)=9,
則方差是: [4×(10﹣9)2+2×(8﹣9)2+(7﹣9)2+3×(9﹣9)2]=1;

(3)∵甲隊成績的方差是1.4,乙隊成績的方差是1,
∴成績較為整齊的是乙隊;
故答案為:乙.
點評: 本題考查方差、中位數和眾數:中位數是將一組數據從小到大(或從大到。┲匦屡帕泻,最中間的那個數(或最中間兩個數的平均數),一般地設n個數據,x1,x2,…xn的平均數為 ,則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2],它反映了一組數據的波動大小,方差越大,波動性越大,反之也成立.
 



22.(8分)(2014•揚州)商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料,每種飲料數量充足,某同學去該店購買飲料,每種飲料被選中的可能性相同.
(1)若他去買一瓶飲料,則他買到奶汁的概率是  ;
(2)若他兩次去買飲料,每次買一瓶,且兩次所買飲料品種不同,請用樹狀圖或列表法求出他恰好買到雪碧和奶汁的概率.

考點: 列表法與樹狀圖法;概率公式有
分析: (1)由商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料,每種飲料數量充足,某同學去該店購買飲料,每種飲料被選中的可能性相同,直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根據題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與他恰好買到雪碧和奶汁的情況,再利用概率公式即可求得答案.
解答: 解:(1)∵商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料,每種飲料數量充足,某同學去該店購買飲料,每種飲料被選中的可能性相同,
∴他去買一瓶飲料,則他買到奶汁的概率是: ;
故答案為: ;

(2)畫樹狀圖得:

∵共有12種等可能的結果,他恰好買到雪碧和奶汁的有2種情況,
∴他恰好買到雪碧和奶汁的概率為: = .
點評: 本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果,列表法適合于兩步完成的事件,樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.
 










23.(10分)(2014•揚州)如圖,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC繞點B順時針旋轉90°至△DBE后,再把△ABC沿射線平移至△FEG,DF、FG相交于點H.
(1)判斷線段DE、FG的位置關系,并說明理由;
(2)連結CG,求證:四邊形CBEG是正方形.


考點: 旋轉的性質;正方形的判定;平移的性質
分析: (1)根據旋轉和平移可得∠DEB=∠ACB,∠GFE=∠A,再根據∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°,進而得到∠DEB+∠GFE=90°,從而得到DE、FG的位置關系是垂直;
(2)根據旋轉和平移找出對應線段和角,然后再證明是矩形,后根據鄰邊相等可得四邊形CBEG是正方形.
解答: (1)解:FG⊥ED.理由如下:
∵△ABC繞點B順時針旋轉90°至△DBE后,
∴∠DEB=∠ACB,
∵把△ABC沿射線平移至△FEG,
∴∠GFE=∠A,
∵∠ABC=90°,
∴∠A+∠ACB=90°,
∴∠DEB+∠GFE=90°,
∴∠FHE=90°,
∴FG⊥ED;

(2)證明:根據旋轉和平移可得∠GEF=90°,∠CBE=90°,CG∥EB,CB=BE,
∵CG∥EB,
∴∠BCG+∠CBE=90°,
∴∠BCG=90°,
∴四邊形BCGE是矩形,
∵CB=BE,
∴四邊形CBEG是正方形.


點評: 此題主要考查了圖形的旋轉和平移,關鍵是掌握新圖形中的每一點,都是由原圖形中的某一點移動后得到的,這兩個點是對應點.連接各組對應點的線段平行且相等.
 
24.(10分)(2014•揚州)某漆器廠接到制作480件漆器的訂單,為了盡快完成任務,該廠實際每天制作的件數比原來每天多50%,結果提前10天完成任務.原來每天制作多少件?

考點: 分式方程的應用.
分析: 設原來每天制作x件,根據原來用的時間﹣現在用的時間=10,列出方程,求出x的值,再進行檢驗即可.
解答: 解:設原來每天制作x件,根據題意得:
﹣ =10,
解得:x=16,
經檢驗x=16是原方程的解,
答:原來每天制作16件.
點評: 此題考查了分式方程的應用,分析題意,找到合適的等量關系是解決問題的關鍵,本題的等量關系是原來用的時間﹣現在用的時間=10.
 
25.(10分)(2014•揚州)如圖,⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D,與直角邊AC相交于E、F兩點,連結DE,已知∠B=30°,⊙O的半徑為12,弧DE的長度為4π.
(1)求證:DE∥BC;
(2)若AF=CE,求線段BC的長度.


考點: 切線的性質;弧長的計算.
分析: (1)要證明DE∥BC,可證明∠EDA=∠B,由弧DE的長度為4π,可以求得∠DOE的度數,再根據切線的性質可求得∠EDA的度數,即可證明結論.
(2)根據90°的圓周角對的弦是直徑,可以求得EF,的長度,借用勾股定理求得AE與CF的長度,即可得到答案.
解答: 解:(1)證明:連接OD、OE,

∵OD是⊙O的切線,
∴OD⊥AB,∴∠ODA=90°,
又∵弧DE的長度為4π,
∴ ,
∴n=60,
∴△ODE是等邊三角形,
∴∠ODE=60°,∴∠EDA=30°,
∴∠B=∠EDA,
∴DE∥BC.

(2)連接FD,

∵DE∥BC,
∴∠DEF=90°,
∴FD是⊙0的直徑,
由(1)得:∠EFD=30°,FD=24,
∴EF= ,
又因為∠EDA=30°,DE=12,
∴AE= ,
又∵AF=CE,∴AE=CF,
∴CA=AE+EF+CF=20 ,
又∵ ,
∴BC=60.
點評: 本題考查了勾股定理以及圓的性質的綜合應用,解答本題的關鍵在于900的圓周角對的弦是直徑這一性質的靈活運用.
 
26.(10分)(2014•揚州)對x,y定義一種新運算T,規定:T(x,y)= (其中a、b均為非零常數),這里等式右邊是通常的四則運算,例如:T(0,1)= =b.
(1)已知T(1,﹣1)=﹣2,T(4,2)=1.
①求a,b的值;
②若關于m的不等式組 恰好有3個整數解,求實數p的取值范圍;
(2)若T(x,y)=T(y,x)對任意實數x,y都成立(這里T(x,y)和T(y,x)均有意義),則a,b應滿足怎樣的關系式?

考點: 分式的混合運算;解二元一次方程組;一元一次不等式組的整數解
專題: 新定義.
分析: (1)①已知兩對值代入T中計算求出a與b的值;
②根據題中新定義化簡已知不等式,根據不等式組恰好有3個整數解,求出p的范圍即可;
(2)由T(x,y)=T(y,x)列出關系式,整理后即可確定出a與b的關系式.
解答: 解:(1)①根據題意得:T(1,﹣1)= =﹣2,即a﹣b=﹣2;
T=(4,2)= =1,即2a+b=5,
解得:a=1,b=3;
②根據題意得: ,
由①得:m≥﹣ ;
由②得:m< ,
∴不等式組的解集為﹣ ≤m< ,
∵不等式組恰好有3個整數解,即m=0,1,2,
∴2≤ <3,
解得:﹣2≤p<﹣ ;

(2)由T(x,y)=T(y,x),得到 = ,
整理得:(x2﹣y2)(2b﹣a)=0,
∵T(x,y)=T(y,x)對任意實數x,y都成立,
∴2b﹣a=0,即a=2b.
點評: 此題考查了分式的混合運算,解二元一次方程組,以及一元一次不等式組的整數解,弄清題中的新定義是解本題的關鍵.
 









27.(12分)(2014•揚州)某店因為經營不善欠下38400元的無息貸款的債務,想轉行經營服裝專賣店又缺少資金.“中國夢想秀”欄目組決定借給該店30000元資金,并約定利用經營的利潤償還債務(所有債務均不計利息).已知該店代理的品牌服裝的進價為每件40元,該品牌服裝日銷售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的關系可用圖中的一條折線(實線)來表示.該店應支付員工的工資為每人每天82元,每天還應支付其它費用為106元(不包含債務).
(1)求日銷售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的函數關系式;
(2)若該店暫不考慮償還債務,當某天的銷售價為48元/件時,當天正好收支平衡(收人=支出),求該店員工的人數;
(3)若該店只有2名員工,則該店最早需要多少天能還清所有債務,此時每件服裝的價格應定為多少元?


考點: 二次函數的應用;一次函數的應用.
分析: (1)根據待定系數法,可得函數解析式;
(2)根據收入等于指出,可得一元一次方程,根據解一元一次方程,可得答案;
(3)分類討論40≤x≤58,或58≤x≤71,根據收入減去支出大于或等于債務,可得不等式,根據解不等式,可得答案.
解答: 解:(1)當40≤x≤58時,設y與x的函數解析式為y=k1x+b1,由圖象可得
,
解得 .
∴y=2x+140.
當58<x≤71時,設y與x的函數解析式為y=k2x+b2,由圖象得
,
解得 ,
∴y=﹣x+82,
綜上所述:y= ;

(2)設人數為a,當x=48時,y=﹣2×48+140=44,
∴(48﹣40)×44=106+82a,
解得a=3;

(3)設需要b天,該店還清所有債務,則:
b[(x﹣40)•y﹣82×2﹣106]≥68400,
∴b≥ ,
當40≤x≤58時,∴b≥ = ,
x=﹣ 時,﹣2x2+220x﹣5870的最大值為180,
∴b ,即b≥380;
當58<x≤71時,b = ,
當x=﹣ =61時,﹣x2+122x﹣3550的最大值為171,
∴b ,即b≥400.
綜合兩種情形得b≥380,即該店最早需要380天能還清所有債務,此時每件服裝的價格應定為55元.
點評: 本題考查了二次函數的應用,利用待定系數法求函數解析式,一次方程的應用,不等式的應用,分類討論是解題關鍵.
 
28.(12分)(2014•揚州)已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點B落在CD邊上的P點處.

(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點O,連結AP、OP、OA.
①求證:△OCP∽△PDA;
②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長;
(2)若圖1中的點P恰好是CD邊的中點,求∠OAB的度數;
(3)如圖2,      ,擦去折痕AO、線段OP,連結BP.動點M在線段AP上(點M與點P、A不重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連結MN交PB于點F,作ME⊥BP于點E.試問當點M、N在移動過程中,線段EF的長度是否發生變化?若變化,說明理由;若不變,求出線段EF的長度.

考點: 相似形綜合題;全等三角形的判定與性質;等腰三角形的判定與性質;勾股定理;矩形的性質;特殊角的三角函數值.
專題: 綜合題;動點型;探究型.
分析: (1)只需證明兩對對應角分別相等即可證到兩個三角形相似,然后根據相似三角形的性質求出PC長以及AP與OP的關系,然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長,從而求出AB長.
(2)由DP= DC= AB= AP及∠D=90°,利用三角函數即可求出∠DAP的度數,進而求出∠OAB的度數.
(3)由邊相等常常聯想到全等,但BN與PM所在的三角形并不全等,且這兩條線段的位置很不協調,可通過作平行線構造全等,然后運用三角形全等及等腰三角形的性質即可推出EF是PB的一半,只需求出PB長就可以求出EF長.
解答: 解:(1)如圖1,
①∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折疊可得:AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO.∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C,∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,
∴ = = = = .
∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.
∵AD=8,∴CP=4,BC=8.
設OP=x,則OB=x,CO=8﹣x.
在Rt△PCO中,
∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,
∴x2=(8﹣x)2+42.
解得:x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴邊AB的長為10.

(2)如圖1,
∵P是CD邊的中點,
∴DP= DC.
∵DC=AB,AB=AP,
∴DP= AP.
∵∠D=90°,
∴sin∠DAP= = .
∴∠DAP=30°.
∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°,
∴∠OAB=30°.
∴∠OAB的度數為30°.

(3)作MQ∥AN,交PB于點Q,如圖2.
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.
∴∠APB=∠MQP.
∴MP=MQ.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,
∴PE=EQ= PQ.
∵BN=PM,MP=MQ,
∴BN=QM.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF.
在△MFQ和△NFB中,

∴△MFQ≌△NFB.
∴QF=BF.
∴QF= QB.
∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB.
由(1)中的結論可得:
PC=4,BC=8,∠C=90°.
∴PB= =4 .
∴EF= PB=2 .
∴在(1)的條件下,當點M、N在移動過程中,線段EF的長度不變,長度為2 .



點評: 本題是一道運動變化類的題目,考查了相似三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定、矩形的性質、等腰三角形的性質和判定、勾股定理、特殊角的三角函數值等知識,綜合性比較強,而添加適當的輔助線是解決最后一個問題的關鍵.

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